\begin{questions}
\item Le point $M$ appartient à la demi-droite $[Iz)$ et il est
différent de $I$, donc $IM > 0$. L'ensemble de définition de la fonction $f$ est $]0~;+\infty[$.
\item
\begin{questions}
\item Soit $H$ le point d'intersection des droites $(IM)$ et $(DC)$.  Comme $ABCD$ est un carré, les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles donc la droite $(IM)$ qui est perpendiculaire à $(AB)$ est aussi perpendiculaire à $(DC)$.\\
On a donc :\[f(x) = \dfrac{1}{2} PQ \times MH=PH\times MH.\]
Or, le point $I$ appartient au segment $[MH]$ donc :
\[MH = MI + IH = 2 + x. \]
En appliquant le théorème de Thalès au triangle $MPH$, on obtient  :
\[
\frac{MI}{MH} = \frac{AI}{PH},
\]
soit  :
\[
\frac{x}{x+2} = \frac{1}{PH}.
\]
On en déduit que :
\[
PH =\frac{x+2}{x}.
\]
En remplaçant alors dans l'expression de $f(x)$, on obtient :
\[
 f(x) =\frac{ (x + 2) ^2}{ x }.
\]
\item Pour déterminer l'aire minimale du triangle $MPQ$, on étudie les variations de la fonction $f$. La fonction $f$ est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition et, pour tout $x > 0$ :
 \[
f'(x) = \frac{2x(x+2) - (x+2)^2 }{x^2},
 \]
soit :
 \[
 f'(x) =\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}.
 \]
Comme $x+2$ et $x^2$ sont strictement positifs sur $]0~;+\infty[$, $f '(x)$ est du signe de $x-2$. Il en résulte que $f$ est strictement décroissante sur $]0~;2]$ et strictement croissante sur $]2~;+\infty[$.\\
Donc la fonction $f$ admet un minimum pour $x = 2$.\\
L'aire du triangle $MPQ$ est minimale lorsque $IM = 2$.
\end{questions}

\item Pour tout réel $x$ de $]0~;+\infty[$, on a:
      \[
      x+4+\frac{4}{x}=\frac{x(x+4)+4}{x}
      =\frac{x^2+4x+4}{x}
      =\frac{(x+2)^2}{x}
      =f(x).
      \]
\item Pour déterminer l'arrondi à l'unité de la mesure de l'aire du triangle $MPQ$ lorsque $x = \numprint{1980}$, on utilise l'écriture :
 \[f(x) = x + 4 + \frac{4}{x}.\]
On a alors  :
\[
f(\numprint{1980}) = \numprint{1984} +\frac{4}{\numprint{1980}}.
\]
On en déduit que l'arrondi cherché est \numprint{1984}.
\end{questions}
