\begin{questions}
\item Pour tout réel $x$, la dérivée de $g$ est:
\[
g'(x)=-2+2\nep^{2x}=2\big( \nep^{2x} - 1\big).
\]
Or, $2>0$. Donc,
\begin{align*}
g'(x) \geqslant 0 & \iff \nep^{2x} - 1 \geqslant 0\\
                                  & \iff \nep^{2x} \geqslant 1\\
                                  & \iff 2x \geqslant 0\\
                                  & \iff x \geqslant 0.
\end{align*}
\begin{Remarque}nous avons ici utilisé l'équivalence
\begin{center}
\og $\nep^X \geqslant 0 \iff X \geqslant0$ \fg{} en posant $X=2x$.
\end{center}
\end{Remarque}
De plus,
\[
g(0) = 1 - 2\times0 + \nep^{2\times0} = 1 + 1 = 2.
\]
On en déduit alors le tableau suivant:
\[
\begin{array}{|R|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty &  & 0 &  & +\infty\\
\hline
g'(x) &  & - & 0 & + & \\
\hline
g(x) &  & \searrow &  & \nearrow & \\
     &  &          & 2 &         & \\
\hline
\end{array}
\]

\item Du tableau précédent, on peut conclure que $g$ atteint son minimum pour $x=0$, et ce minimum vaut 2.

\item De la question précédente, on déduit que pour tout réel $x$, $g(x) \geqslant 2$.

Or, $2 > 0 $; par conséquent, pour tout réel $x$,
\[
g(x) > 0.
\]

\item De la question précédente, on peut écrire:
\begin{align*}
\forall x \in\R,\quad &  g(x) > 0\\
\iff & 1-2x + \nep^{2x} > 0\\
\iff & \nep^{2x} > 2x-1.
\end{align*}

Ainsi, sur $\R$, la courbe $\Gamma$ d'équation $y=\nep^{2x}$ se situe toujours au-dessus de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=2x-1$.

\begin{Remarque} la lettre grecque \og $\Gamma$ \fg{} se lit \og Gamma \fg.
\end{Remarque}
\end{questions}
