\begin{questions}
\item Pour tout réel $x$, $f'(x) = \nep^x + x \nep^x = (1 + x) \nep^x$. Comme $\nep^x$ est strictement positif, $f'(x)$ est du signe de $1+x$, donc positif pour $x> - 1$ et négatif sinon. Sachant que $f(-1) = a - \nep^{-1}$, on peut établir le tableau de variations suivant :
\[
\begin{array}{|R|lcccr|}\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -1 & & +\infty \\\hline
f'(x) &  & - & 0 & + & \\\hline
& & & & & \\
f(x) &  & \searrow &  & \nearrow & \\
  &  &          & a-\frac{1}{\nep\strut} & & \\
\hline
\end{array}
\]
\item D'après le tableau de variations, le minimum de $f$ est atteint en $-1$ et vaut $a-\dfrac{1}{\nep}$.

On a alors $f(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ si et seulement si  $a - \dfrac{1}{\nep} \geqslant 0$, c'est-à-dire $a \geqslant \dfrac{1}{\nep}$.
\end{questions}
