\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.3){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch04exo12}}}
\vspace*{-5mm}
\begin{questions}
\item \`A la calculatrice, il semble que pour tout $x$, $f(x)$ soit compris entre $-1$ et 1.

\item Pour tout $x$, $\nep^{2x} - 1 < \nep^{2x} + 1$ et comme $\nep^{2x} > 0$, on a aussi :
\[
- \nep^{2x} - 1 < \nep^{2x} - 1\;,
\]
ce qui donne la double inégalité :
\[
-(\nep^{2x}+1) < \nep^{2x} -1 < \nep^{2x}+1.
\]
En divisant chaque membre par $\nep^{2x} + 1$ qui est strictement positif on trouve l'inégalité cherchée :
\[
-1 < f(x) < 1.
\]

\item On calcule la dérivée de $f$ :
\[
\begin{aligned}
f'(x) &= \dfrac{2\nep^{2x}(\nep^{2x}+1)-2\nep^{2x}(\nep^{2x}-1) }{(\nep^{2x}+1)^2} \\
 &= \dfrac{4\nep^{2x} }{\big(\nep^{2x}+1\big)^2}.
\end{aligned}
\]
On constate que  $f'(x) > 0 $ pour tout $x$, donc $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\[
\begin{array}{|R|l>{\centering\arraybackslash}p{1cm}r|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & +\infty \\
\hline
f'(x) &  & + & \\
\hline
f(x) &   & $\nearrow$ & \\
\hline
\end{array}
\]
\enlargethispage*{\baselineskip}
\item On cherche la plus petite valeur de $x$ telle que $1 - f(x) < 0,001$, c'est-à-dire telle que $f(x) > 0,999$. Notons $a$ cette valeur.

On programme la fonction $f$ à la calculatrice, puis on affiche un premier tableau de valeurs par pas de 1 à partir de 0.

Comme $f(3) < 0,999 < f(4)$, on en déduit que $a$ est compris entre 3 et 4.

On tabule à nouveau la fonction à partir de 3 par pas de $0,1$. On trouve $f(3,8)<0,999<f(3,9)$.

On recommence à tabuler à partir de $3,8$ par pas de $0,01$ et on trouve finalement $f(3,8)<0,999<f(3,81)$. La valeur cherchée est donc $a = 3,81$.
\end{questions}
