\begin{questions}
\item Pour tout $x\in \R$,
$\nep^x >0$
et
$\nep^{-x}>0$,
donc $\ch
x>0$.
\Par
Pour tout $x \in \R^+$,
$\nep^x \geq1$ et $\nep^{-x}\leq1$, donc
$
\sh
x=\dfrac{1}{2}(\nep^x-\nep^{-x})\geq0
$.
\Par
Comme $\sh$ est impaire, on en déduit
pour tout
$x\in \R^-$, $ \sh x \leq0$.
\par
D'où les tableaux de signes :
\[
\begin{array}{| C | c c c c c|}
\hline\tabulartitle
 x & -\infty & & 0 & & +\infty  \\
\hline
\sh x & & - & 0 & + &  \\
\hline
\ch x & & + & 1 & + &  \\
\hline
\end{array}
\]
\item Les fonctions $\ch$ et $\sh$ sont toutes deux dérivables en tant que sommes de
fonctions dérivables et pour tout $x \in \R$,
\[
\ch' x=\dfrac{{\nep^{x}-\nep^{-x} }}{2}=\sh x
\quad\text{et}\quad
\sh' x=\dfrac{{\nep^{x}-(-\nep^{-x}) }}{2}=\ch x.
\]
\item Le tableau de variation de $\ch$ est alors :
\[
\begin{array}{| C | c c c c c|}
\hline\tabulartitle
 x & -\infty & & 0 & & +\infty  \\
\hline
\sh x & & - & 0 & + &  \\
\hline
 & +\infty & & & & +\infty  \\
\ch x & &\searrow & & \nearrow & \\
 & & &1 & & \\
\hline
\end{array}
\]
et celui de $\sh$ est :
\[
\begin{array}{| C | c c c c c|}
\hline\tabulartitle
 x & -\infty & & 0 & & +\infty  \\
\hline
\ch x & & + & 1 & + &  \\
\hline
 & & &  &  & +\infty \\
   & &  &  & \nearrow & \\
 \sh x & &  & 0 &  & \\
  & & \nearrow &  &  & \\
 & - \infty & & & & \\
\hline
\end{array}
\]

\item
\begin{questions}
\item Pour tout $x \in \R$,
\[
\begin{aligned}
f'(x)&=(\ch^2)'(x)-(\sh^2)'(x) \\
&=2\ch x\ch' x -2\sh x\sh' x \\
&=2\ch x\sh x-2\sh x\ch x =0. \\
\end{aligned}
\]
Donc $f$ est constante sur $\R$ et pour tout $x \in \R$,
\[
\begin{aligned}
f(x)&=\left(\ch x \right)^2-\left(\sh x \right)^2 \\
&=f(0) \\
&=1-0\\
&=1.
\end{aligned}
\]
\item Pour tout $x \in \R$,\\
\[
f(x)=\left(\ch x\right)^2-\left(\sh x \right)^2
=\left(\dfrac{\nep^x+\nep^{-x}}{2} \right) ^2
-\left(\dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{2}\right) ^2.
\]
Ou encore,
\[
f(x)=\dfrac{1}{4}\left((\nep^{2x}+2+\nep^{-2x})-(\nep^{2x}-2+\nep^{-2x})\right) =\dfrac{4}{4}=1.
\]
\end{questions}

\newpage

\item
\begin{questions}
\item Pour tout $x \in \R$,
\[
\begin{aligned}
2\ch x\sh x&=2\left(\dfrac{\nep^x+\nep^{-x}}{2}
\right)\left(\dfrac{\nep^x-\nep^{-x}}{2}\right) \\
&=\dfrac{2}{4}\left(
(\nep^x)^2-(\nep^{-x})^2
 \right) \\
&=\sh(2x).
\end{aligned} \]

\item Posons :
\[
g(x)=2\ch x\sh x-\sh(2x).
\]
Pour tout $x \in \R$,
\[
g'(x)=2\sh x\sh x+2\ch x\ch x-2\ch(2x).
\]
Or, $g$ est constante donc $g'$ est nulle.
\par
Donc, pour tout $x\in \R$,
\[
\ch(2x)=\left(\ch x\right)^2+\left(\sh
x\right)^2.
\]
\end{questions}

\item Les fonctions $\ch$ et $\sh$ ont pour représentations graphiques :
\begin{center}
\includegraphics{126_4_fig_4}
\end{center}
On appelle la fonction $\ch$ \og cosinus hyperbolique\fg{}  et la fonction $\sh$ \linebreak \og sinus hyperbolique\fg.
\end{questions}
