\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $v(t) = \dfrac{30}{0,5t +1} \Rightarrow v(0) = \dfrac{30}{0,5 \times 0 +1} = 30 = v_{0}$.

On retrouve bien la valeur d'achat annoncée.

On cherche $ t_{0} $ tel que $ v(t_{0}) \leqslant 0,5\,v_{0} $, soit :

\begin{align*}
& \frac{30}{0,5t_{0} +1}\leqslant \frac{1}{2}\times 30 & \frac{1}{0,5t_{0} +1}\leqslant \frac{1}{2} \\
\iff\ & 0,5t_{0} +1 \geqslant 2 \iff t_{0} \geqslant 2.
\end{align*}

La machine aura perdu la moitié de sa valeur initiale au bout de 2~ans.

\item Au bout de 4 ans, l'entreprise pourra revendre la machine au prix de $ v(4) $ :
\[
v(4) = \frac{30}{0,5 \times 4 +1} = \frac{30}{3} = 10.
\]
La valeur de revente de la machine au bout de 4 ans est de $\nombre{10000}$~\euro.

\item $\begin{aligned}[t]
D(t) & = 30-v(t)\\
     & = 30-\dfrac{30}{0,5t +1} \\[6pt]
         & = 30\left(1-\dfrac{1}{0,5t +1}\right) \\[6pt]
         & = 30\times\dfrac{0,5t +1-1}{0,5t +1}\\
         & = \dfrac{15t}{0,5t +1}.
\end{aligned}$

\newpage

On calcule la dérivée de $D$ par la formule du quotient :

\begin{align*}
D'(t)&  = \frac{15(0,5t +1)-15t\times(0,5)}{(0,5t +1)^2}\\
D'(t) & = \frac{15}{(0,5t +1)^2}.
\end{align*}

On observe que $ D'(t)>0 $ (le dénominateur est un carré); donc $ D $ est une fonction strictement croissante sur son ensemble de définition $ \left[0\,;8\right] $.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $ E(t) = 2,5\nep^{0,4t}-t-2,5$ est dérivable en tant que somme d'une exponentielle et d'une fonction affine (sur tout $\R$ donc \emph{a fortiori} sur $ \left[0\,;8\right] $) :
\[
E'(t) = 2,5\times 0,4 \times \nep^{0,4t}-1 = \nep^{0,4t}-1.
\]

\item On sait, d'après l'ensemble de définition, que $ t\ge 0$. Cherchons le signe de $ E'(t)$.
\begin{align*}
E'(t) = 0 & \iff \nep^{0,4t}-1 = 0 \\
          & \iff \nep^{0,4t} = 1 \\
          & \iff \nep^{0,4t} = \nep^0 \\
          & \iff t = 0.
\end{align*}

\begin{align*}
E'(t) > 0 & \iff \nep^{0,4t}-1 > 0\\
          & \iff \nep^{0,4t} > 1 \\
          & \iff 0,4t > 0 \\
          & \iff t >0.
\end{align*}


Autrement dit, $E'$ est strictement positive sur $\left]0\,;8\right]$ et nulle en\\ $t = 0$. $E$ est donc une fonction strictement croissante sur $ \left[0\,;8\right] $.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Le coût total de la machine est composé de la partie d'investissement «~utilisée~» depuis son achat, à laquelle il faut rajouter le prix de son entretien.
\begin{align*}
C(t) & = D(t) +E(t)\\
     & = \underbrace{30-\frac{30}{0,5t +1}}_{D(t)=30-v(t)} +~2,5\nep^{0,4\times t} - t - 2,5 \\
     & = 27,5 - \frac{30}{0,5t +1} + 2,5\nep^{0,4 \times t} - t.
\end{align*}

\newpage

\item On a $C(t) = D(t) +E(t)$. Or, d'après les questions précédentes, $D$ et $E$ sont des fonctions strictement croissantes sur $ \left[0\, ; 8\right] $. Leur somme $C$ est donc elle aussi strictement croissante sur $ \left[0\, ; 8\right] $. Il est inutile d'étudier de signe de la dérivée.

\item On a tracé la courbe en fin de corrigé. Nous avons respecté les proportions données par l'énoncé (1 unité en abscisses pour 1 année, 1 unité en ordonnées pour 8 k\euro).
\end{questions}

\item
    \begin{questions}
    \item Le point $M$ d'abscisse $x_{M} = t$ appartient à $\Gamma$ si et seulement ses coordonnées vérifient l'équation de $\Gamma$ : $y = C(t)$.

    Donc $y_{M} = C(t)$. Le coefficient directeur $a$ de la droite $(OM)$ vaut donc :
        \[ a = \frac{y_{M}}{x_{M}} = \frac{C(t)}{t} = U(t). \]

    \item Faire varier le point $M$ sur la courbe $\Gamma$, c'est faire varier la droite $(OM)$. Plusieurs positions de $(OM)$ sont indiquées en pointillés sur le graphique.

    Comme $(OM)$ passe par l'origine, elle a pour équation $y = ax$. En diminuant son coefficient directeur $a$, $(OM)$ se rapproche de l'horizontale. Or diminuer $a $, c'est diminuer $U(t)$. Le coefficient directeur minimal de $ (OM) $ est obtenu quand $ (OM) $ est tangente à $\Gamma$ et sous $\Gamma$. Cela correspond à une abscisse d'environ $ 4,5 $.

Donc, le coût minimum est atteint pour $ 4$ années et demi, environ.
\begin{center}
\includegraphics{132_4_fig_6}
\end{center}
\end{questions}
\end{questions}
