\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. On a : $f'(x)=\nep^x+x\nep^x+3-\nep^{-x}$.

\item Réponse \choix[a]. $g$ est un produit de la forme $u \times v$ avec $u(x)=x+1$ et $v(x)=\nep^{3-5x}$. Donc $g'=u'v+uv'$.

$u'(x)=1$ et $v'(x)=-5\nep^{3-5x}$ donc :
\begin{align*}
g'(x) & = 1 \times \nep^{3-5x} + (x+1)\times(-5)\nep^{3-5x}\\
& = \big[ 1 - 5(x+1) \big]\nep^{3-5x}\\
& = (1-5x-5)\nep^{3-5x}\\
& = (-5x-4)\nep^{3-5x}\\
& = -(5x+4)\nep^{3-5x}.
\end{align*}

\item  Réponse \choix[b]. On a :
\begin{align*}
f'(x) & = 2x\nep^x + x^2\nep^x = x(x+2)\nep^x.\\
g'(x) & = 1\nep^x+x\nep^x = (x+1)\nep^x.
\end{align*}
\[
\begin{aligned}
f'(x)=g'(x) &\iff  x(x+2)\nep^x=(x+1)\nep^x\\
& \iff x(x+2)=x+1\text{ car }\nep^x\neq0\\
& \iff x^2+x-1=0.
\end{aligned}
\]
Les solutions de cette dernière équation sont:
\[
x_1=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}.
\]
En $x_1$, l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ est:
\[ y = f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1). \]
En $x_1$, l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $g$ est:
\[ y = g'(x_1)(x-x_1)+g(x_1). \]
Après calculs, on voit que les deux équations ne sont pas équivalentes, donc les tangentes sont distinctes, tout en ayant des coefficients directeurs égaux. Elles sont donc strictement parallèles.

Ce raisonnement est aussi valable en $x_2$.


\item Réponse \choix[c]. $f(0)=\nep^2$.\\
$f'(x)=0,5\nep^{0,5x+2}$. Donc $f'(0)=0,5\nep^2$.\\
La tangente a donc pour équation $y=0,5\nep^2(x-0)+\nep^2$, soit\linebreak $y=0,5\nep^2x+\nep^2$.
\end{questions}
