\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $f$ est de la forme $u \times v$ avec:
\[
\begin{array}{lll}
u(x)=2-x & \qquad & v(x)={\color{DR}\nep^x}\\
u'(x)=-1 &  & v'(x) = {\color{DG}\nep^x}
\end{array}
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = (u'v+v'u)(x)\\
      & = -1 \times {\color{DR}\nep^x} + (2-x)\times{\color{DG}\nep^x}\\
      & = \big[-1 + (2-x) \big]{\color{DB}\nep^x}\\
      & = (-1+2-x)\nep^x\\
      & = (1-x)\nep^x.
\end{align*}

\begin{methode}
Quand on dérive une fonction produit dont un des facteurs est une exponentielle, on pourra toujours factoriser par cette exponentielle. Cela nous permet d'obtenir une expression factorisée de la dérivée, qui pourra par la suite noue permettre d'en étudier le signe.
\end{methode}

\item $f'(x)$ est du signe de $(1-x)$ car pour tout réel $x$, $\nep^x>0$. Or,
\[
1-x > 0 \iff 1 > x \iff x < 1.
\]
De plus,
\[
f(1) = (2-1)\nep^1 = \nep.
\]
D'où le tableau suivant:
\[
\begin{array}{|R|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x     & -\infty& & 1 &  & +\infty\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & \\
\hline
         &  &          & \nep &          & \\
f(x)     &  & \nearrow &  & \searrow & \\
\hline
\end{array}
\]
\end{questions}

\item $\mathcal{T}$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse 0, donc son équation est de la forme:
\[
y = f'(0)(x-0)+f(0).
\]
D'après les calculs précédents,
\[
f'(0) = (1-0)\nep^0 = 1 \times 1 = 1\qquad\text{et}\qquad f(0)=(2-0)\nep^0=2.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\mathcal{T}\qquad:\qquad & y = 1(x-0)+ 2\\
                                        \iff & y = x+2
\end{align*}
\end{questions}
