\begin{questions}
\item  Pour calculer les premiers termes, on peut directement écrire :
        \begin{align*}
        &U_{0} = 2^{0}-5 \times 0 + 6 = 7. \\
        &U_{1} = 2^{1}-5 \times 1 + 6 = 3. \\
        &U_{2} = 2^{2}-5 \times 2 + 6 = 0. \\
        &U_{3} = 2^{3}-5 \times 3 + 6 = -1.
        \end{align*}

        \item  Pour calculer $S_{n}$ en fonction de $n$, il faut penser à décomposer la somme :
        $$U_{n}=\underbrace{(2^{n})}_{V_{n}}+\underbrace{(-5n+6)}_{W_{n}}$$
        où $(V_{n})$ est la suite géométrique de raison $2$ et de premier terme
        $1$ et $(W_{n})$ la suite arithmétique de raison $-5$ et de premier
        terme $6$. On peut alors écrire :
        $$S_{n}=S_n(V)+S_{n}(W)\,,$$
        avec :
        $$\left\lbrace\begin{aligned}
        &S_{n}(V)=V_{0}+V_{1}+\cdots+V_{n}\\
        &S_{n}(W)=W_{0}+W_{1}+\cdots+W_{n}
        \end{aligned}\right.$$

        \[ S_n(V)=1+2+\cdots+2^n=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1.\]

        \begin{align*}
        S_n(W) & = 6+(6-5)+(6-2\times 5)+\cdots+(6-n\times 5)\\
        & = (n+1)\times 6-5(1+2+\cdots+ n)\\
        &= 6(n+1)-5\frac{n(n+1)}{2}\\
        & = \frac{12(n+1)-5n(n+1)}{2}\\
        & = \frac{(n+1)(12-5n)}{2}.
        \end{align*}

        Donc :
        $$\left\lbrace\begin{aligned}
      & S_{n}(V)=2^{n+1}-1\\
& S_{n}(W)=\frac{n+1}{2}(12-5n).
        \end{aligned}\right.$$
        On obtient donc :
        $$S_{n} = S_{n}(V)+S_{n}(W) = 2^{n+1}-1+\frac{n+1}{2}(12-5n)\;.$$
        Vérifions pour les quatre premiers termes :
        $$S_{3}=7+3+0-1=9$$
        et par le calcul précédent :
        $$S_{3} = 2^{4}-1+\frac{4}{2}(12-15) = 9\,.$$
\end{questions}
