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\begin{questions}
\item Le  capital A est placé à intérêts composés au taux de 3~\% l'an. Le capital obtenu au bout d'un an, $C_1$, est égal à la somme du capital initial $C_0$ et des intérêts soit $0{,}03 C_0$. D'où :
\[
C_1 = C_0 + 0,03 C_0 = 1,03 C_0 \,.
\]
Plus généralement, le capital obtenu au bout de $n + 1$  années, $C_{n+1}$, est égal à la somme du capital obtenu au bout de $n$ années $C_n$ et des intérêts soit $0{,}03 C_n$.

D'où :
\[
C_{n+1} = C_n + 0,03 C_n = 1,03 C_n\,.
\]
On en déduit que la suite $(C_n)$ est la suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme $C_0$.
D'après le cours, on a alors, pour tout entier naturel $n$, $C_n = (1{,}03)^n C_0$.

\item
\begin{questions}
\item Le capital $C_{n+1}$ acquis au bout de la $n$\ieme année est donné en fonction du capital de l'année précédente $C_n$ par la relation de
récurrence: $C_{n+1}=1,03 C_n$, sachant que le capital vaut initialement $C_0=A$.

L'algorithme suivant permet de calculer et d'afficher les montants
des capitaux acquis les \texttt{N} premières années.

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.8){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/05-Capitaux-intcomp-01.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\begin{algorithme}{Algorithme}
C $\leftarrow$ A
Pour I de 1 à N
\qquad C $\leftarrow$ 1.03*C
Fin Pour
Afficher C
\end{algorithme}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
\begin{listing}{En Python}{05-Capitaux-intcomp-01.py}\end{listing}
\end{minipage}

\Par

\item On peut utiliser l'algorithme précédent pour $A=150$ et différentes valeurs de $N$ jusqu'à trouver un entier N tel que le capital affiché ait doublé.

On peut aussi modifier l'algorithme de la manière suivante:

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.8){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/05-Capitaux-intcomp-02.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\begin{algorithme}{Algorithme}
Tant que C$<$2A
\qquad C $\leftarrow$ 1.03*C
\qquad I $\leftarrow$ I+1
Fin Tant que
Afficher I
\end{algorithme}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
\begin{listing}{En Python}{05-Capitaux-intcomp-02.py}\end{listing}
\end{minipage}

\Par

Pour un capital de départ $A=150$ euros, on trouve à l'aide de ce programme qu'il faut $N=24$ années pour doubler ce capital.

\item Pour un capital de départ $A=700$ euros, on trouve de même à l'aide du programme précédent qu'il faut aussi $N=24$ années pour doubler ce capital.

On peut conjecturer que le nombre d'années nécessaires pour\linebreak doubler le capital initial est indépendant du montant de ce capital.


\item Plus généralement, pour un capital de départ $A$ quelconque, le\linebreak capital est doublé au bout de $n$ années si et seulement si $C_n \geq 2 C_0$ soit  :
      \[
       (1{,}03)^n C_0 \geq 2 C_0\,.
       \]
       On cherche donc le plus petit entier $n$ tel que
      $(1{,}03)^n \geq 2$.
      \`A l'aide de la calculatrice, on trouve :
      \[(1{,}03)^{23} < 2 < (1{,}03)^{24}\,.\]
      Le capital est donc doublé au bout de 24 ans,
      indépendamment du capital initial.
\end{questions}
\end{questions}
