\begin{questions}
\item Comme le rayon lumineux perd 23~\% de son intensité lumineuse en traversant la plaque de verre,   son intensité $I_1$ à sa sortie est égale à\linebreak l'intensité de départ $I_0$ moins $0,23 I_0$, soit $0,77 I_0$. On a donc :\[I_1 = 0,77 I_0\,.\]

\item
\begin{questions}
\item  En appliquant le raisonnement de la question précédente, l'intensité $I_n$  du rayon à sa sortie de la $n$\ieme{} plaque est égale à $0,77 I_{n-1}$.

\item On en déduit que la suite $(I_n)$ est une suite géométrique de raison 0,77. Son premier terme est $I_0$.
En appliquant la formule du cours, on obtient, pour tout entier naturel $n$ :
\[
I_n = I_0 \times(0{,}77)^n\,.
\]
\item La suite $(I_n)$ est une suite à termes strictement positifs et , pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1} = 0{,}77 I_n$. On en déduit que $I_{n+1} < I_n$ donc  la suite $(I_n)$ est strictement décroissante.
\end{questions}

\item Après avoir traversé 4 plaques, l'intensité est $I_0\times (0,77)^4$. On cherche donc $I_0$ tel que $I_0\times(0,77)^4 = 15$.
D'où :
\[
I _0 = \frac{15}{0{,}77^4}.
\]
L'intensité initiale était environ  $42,67$.

\item Soit $n$  le nombre minimum de plaques qu'un rayon doit avoir traversé pour que son intensité sortante soit inférieure ou égale au quart de son intensité entrante. Le nombre $n$ cherché est le plus petit entier tel que :
\[
I_0 \times(0{,}77)^n  \leq  \frac{1}{4}  I_0\,,
\]
soit :
\[
(0{,}77)^n \leq 0,25\,.
\]
\`A l'aide de la calculatrice, on trouve :
\[
(0{,}77)^5 \geq 0{,}25  \geq (0{,}77)^6\,.
\]
On en déduit que le rayon doit avoir traversé au moins six plaques.
\end{questions}
