\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch05exo21}}}
\vspace*{-5mm}
\begin{questions}
\item  On a :
\[
\begin{cases}
U_{0} & =6\\
U_{n+1} & =\dfrac{1}{2}U_{n}+5.
\end{cases}
\]
Pour calculer les quatre premiers termes, il suffit d'écrire :
        \begin{xalignat*}{2}
        U_{0}&=6 ; & U_{1} &=\frac{1}{2}\times6+5 = 8 ; \\
        U_{2}&=\frac{1}{2}\times8+5 = 9;&     U_{3}&=\frac{1}{2}\times9+5 = \frac{19}{2}.
        \end{xalignat*}
        On peut remarquer que l'on a bien calculé les quatre premiers termes, puisque
        l'on avait déjà $U_{0}$ !

        \item  Démontrons que $(V_{n})$ est bien une suite géométrique.\par
        Nous avons :
        $$V_{n+1} = U_{n+1}-10\;,$$
        soit :
        $$V_{n+1}=\frac{1}{2}U_{n}+5-10=\dfrac{1}{2}U_n-5\,.$$
        Or, nous avons :
        $$U_{n} = V_{n}+10.$$
        Donc :
        $$V_{n+1}=\frac{1}{2}(V_{n}+10)-5=\frac{1}{2}V_{n},\quad \text{pour
tout }n \in \N\,.$$
        Nous voyons donc bien que la suite $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison
        $q={\displaystyle \frac{1}{2}}$.\par
        Il reste à en calculer le premier terme. Nous avons :
        $$V_{0}=U_{0}-10=-4\,.$$
        $(V_{n})$ est donc la suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et de
        premier terme $-4$.
        \Par
        Pour exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$, il suffit de revenir à la définition des suites géométriques :
        \[
        V_{n} = q^{n}V_{0} = -\frac{4}{2^{n}}, \quad\text{soit :}\quad V_{n}=\frac{-1}{2^{n-2}}\;.
        \]
        Or, nous avons :
        $$U_{n}=V_{n}+10\;,$$
        donc :
        $$U_{n}=\frac{-1}{2^{n-2}}+10\,.$$

        \item  Pour calculer la somme des premiers termes, utilisons les formules du cours.\par
        $(V_{n})$ étant une suite géométrique de raison différente de 1, nous avons :
      \begin{align*}
      S_{10} & = V_0 + V_1 + \cdots + V_{10}\\
      & = V_0 + qV_0 + \cdots + q^{10}V_{10}\\
      & = V_0 (1 + q + q^2 + \cdots + q^{10})\\
      & = V_0\frac{1-q^{11}}{1-q}
      \end{align*}
        soit :
        $$S_{10} = -4\left(\frac{1-\left({\displaystyle
\frac{1}{2}}\right)^{11}}{1-{\displaystyle
\frac{1}{2}}}\right)=-4\left(\dfrac{\frac{2^{11}-1}{2^{11}}}{\frac{1}{2}}\right)=-8\left(\dfrac{2^{11}-1}{2^{11}}\right)\;,$$
        soit:
        $$S_{10} = -2^3\left( {\displaystyle \frac{2^{11}-1}{2^{11}}} \right) = - \frac{1}{2^{8}}(2^{11}-1)\,.$$
        Finalement :
        $$S_{10}\approx -7,996\,.$$
        Ayant $U_{n}=V_{n}+10$, nous pouvons écrire :
        $$S'_{10} = U_{0} + U_{1} + U_{2} + \cdots + U_{10}$$
        donc :
        $$S'_{10} = V_{0} + 10 + V_{1} + 10 + V_{2} + 10 + \cdots + V_{10} +
10$$
        soit :
        $$S'_{10} = S_{10} + 11 \times 10 = S_{10} + 110$$
        ou encore :
        $$S'_{10} = 110 - \frac{1}{2^{8}}(2^{11}-1)\,.$$
        Finalement :
        $$S'_{10} \approx 102{,}004\,.$$
\end{questions}
