\begin{questions}
\item L'algorithme suivant permet de calculer les termes $U_1$ à $U_n$.

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.8){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/05-EtudeAlgoSuite.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\begin{algorithme}{Algorithme}
u $\leftarrow$ 6
Pour I de 1 à N
\qquad u $\leftarrow$ u/3 + 2
\qquad Afficher u
Fin Pour
\end{algorithme}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
 \begin{listing}{En Python}{05-EtudeAlgoSuite.py}\end{listing}
\end{minipage}

\Par

\begin{minipage}{6.5cm}
Pour $N=5$, le programme fournit l'affichage ci-contre.

En utilisant cet algorithme pour $N$ plus grand ($N=10$, $N=20$,
$N=100$, \dots), on peut conjecturer que $u_n$ se rapproche de~$3$ quand $n$ grandit; on écrit alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}(u_n)=3.
\]
\end{minipage}
\hspace{\fill}
\begin{minipage}{3cm}
\begin{Ecran}[13x8]
\begin{flushright}
4\\
3.333333333\\
3.111111111\\
3.037037037\\
3.012345679
\end{flushright}
\end{Ecran}

\vspace*{2.2em}
\end{minipage}

\item Pour tout entier $n$,
\begin{align*}
v_{n+1} & =u_{n+1}-3\\
& = \frac{1}{3}u_n+2-3\\
& =\frac{1}{3}\left( u_n-3\right) \\
& =\frac{1}{3}v_n.
\end{align*}

Ainsi, la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=u_0-3=3$.

On en déduit que, pour tout entier $n$ :
\[
v_n=v_0 \times q^n=3\left(\frac{1}{3}\right)^n=3\times\frac{1}{3^n}=\frac{1}{3^{n-1}}.\]
Ainsi,
\[
u_n=v_n+3=\frac{1}{3^{n-1}}+3.
\]
Plus $n$ est grand, plus $3^{n-1}$ est grand, donc plus $\frac{1}{3^{n-1}}$ se rapproche de 0. Par conséquent, $u_n$ tend vers 3, ce qui conforte la conjecture émise.

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-1.1){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/05-EtudeAlgoSuite-2.py}}}
\vspace*{-10pt}

\item \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}\begin{algorithme}{Algorithme}
S $\leftarrow$ 6
u $\leftarrow$ 6
Pour i allant de 1 à 10
\qquad u $\leftarrow$ u/3 + 2
\qquad S $\leftarrow$ S+u
Fin Pour
Afficher S
\end{algorithme}\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\begin{listing}{En Python}{05-EtudeAlgoSuite-2.py}\end{listing}
\end{minipage}

\Par

On obtient $S_{10}\simeq 37,5$.
\end{questions}
\newpage
