\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
u_1 & = u_{0+1}\\
& = \dfrac{0+2}{3(0+1)}u_0 &\text{ car }u_{n+1}=\dfrac{n+2}{3(n+1)}u_n\text{ et on prend }n=0\\
& = \dfrac{2}{3}\times1\\
& = \dfrac{2}{3}.
\end{aligned}$

\item Pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$ (admis dans l'énoncé) et:
\[
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+2}{3(n+1)}=\dfrac{n+2}{3n+3}=\dfrac{n+2}{(n+2)+(2n+1)}.
\]
Or, pour tout entier naturel $n$,
\[
(n+2)+(2n+1)>n+2\qquad\text{ donc }\qquad\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1.
\]

On en déduit alors que $(u_n)$ est strictement décroissante.

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = \dfrac{u_{n+1}}{(n+1)+1}\\
& = \dfrac{1}{n+2}\times\dfrac{n+2}{3(n+1)}u_n\\
& = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{u_n}{n+1}\\
& = \dfrac{1}{3}v_n.
\end{aligned}$

Ainsi, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$, et de\linebreak premier terme :
\[
v_0=\dfrac{u_0}{0+1}=1.
\]
\item Le terme général de $(v_n)$ est, d'après la question précédente:
\[
v_n=v_0\times q^n=\dfrac{1}{3^n}.
\]
Or, $v_n=\dfrac{u_n}{n+1}$ donc:
\[
\dfrac{1}{3^n}=\dfrac{u_n}{n+1}\qquad\text{soit:}\qquad u_n=\dfrac{n+1}{3^n}.
\]
\end{questions}
\end{questions}
