\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch05exo24}}}
\vspace*{-5mm}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $P_0 = \numprint{75000}$ ~; $P_1 = 1,014\times\numprint{75000} + 12 - 5 = \numprint{76057}$  ~;\\ $P_2 = 1,014\times\numprint{76057}  + 7 = \numprint{77128,798}$.
\item $P_1-P_0 = \numprint{1057}$  ~; $P_2-P_1 = \numprint{1071,798}$.
Ces différences ne sont pas égales, donc la suite n'est pas arithmétique.\\[3pt]
$\dfrac{\numprint{76057}}{\numprint{75000}}\approx \numprint{1,014093}$ et $\dfrac{\numprint{77128,798}}{\numprint{76057}}\approx\numprint{1,014092}.$\\[3pt]
Ces quotients ne sont pas égaux, donc la suite n'est pas\linebreak géométrique.
\end{questions}
\item L'accroissement de la population étant de 14 pour mille, la population de l'année précédente est multipliée par $1,014$. De plus, avec une\linebreak arrivée de 12 milliers de personnes nouvelles et un départ de 5 milliers de personnes, on a un apport de 7 milliers de  personnes.\\
On a donc bien $P_{n+1} = 1,014P_n+7$.

\item $\begin{aligned}[t]
U_{n+1} &  = P_{n+1} + 500\\
 &         = 1,014 P_n + 7 + 500 \\
&            = 1,014\left(P_n+\dfrac{507}{1,014}\right)\\
&            = 1,014(P_n + 500)\\
&            =1,014U_n.
\end{aligned}$

\Par

Donc la suite $U$ est bien géométrique.

\Par

Son premier terme est : $U_0 = P_0 + 500 = \numprint{75500}$, et sa raison est $1,014$.

\item $U_n = \numprint{75500}\times 1,014^n$.

Comme $P_n = U_n-500$, on a :
\[
P_n = \numprint{75500}\times 1,014^n-500.
\]

\item
\begin{questions}
\item Il faut calculer $P_{15}$ car $2025=2010+15$.
\[
P_{15} = \numprint{75500} \times 1,014^{15}-500 \approx\numprint{92507,137}
\]
ce qui correspond à une population de \numprint{92507137} habitants.

\Par

\item \begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
Il faut calculer la valeur des termes successifs de la suite et voir en quelle année la population sera de 150 millions d'habitants, donc quand $P_n$ dépassera \numprint{150000} puisque $P_n$ est exprimé en milliers d'habitants.
\Par
Voici ci-contre un extrait d'une table réalisée avec un tableur (mais on peut faire la même chose avec la calculatrice).
\Par
La population aura donc doublé en 2060.
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\[
\begin{array}{|C|c|}
\hline
\numprint{2051} & \numprint{133006,714}\\\hline
\numprint{2052} & \numprint{134875,808}\\\hline
\numprint{2053} & \numprint{136771,069}\\\hline
\numprint{2054} & \numprint{138692,864}\\\hline
\numprint{2055} & \numprint{140641,564}\\\hline
\numprint{2056} & \numprint{142617,546}\\\hline
\numprint{2057} & \numprint{144621,192}\\\hline
\numprint{2058} & \numprint{146652,889} \\\hline
\numprint{2059} & \numprint{148713,029} \\\hline
\numprint{2060} & \numprint{150802,011} \\\hline
\end{array}
\]
\end{minipage}
\end{questions}
\end{questions}
\newpage
