\begin{questions}
        \item  On peut directement calculer les premières valeurs :
        $$\left\lbrace\begin{aligned}
        U_{1}&=3U_{0}+2V_{0}=3+4=7\\
        V_{1}&=2U_{0}+3V_{0}=2+6=8
        \end{aligned}\right.$$
        De même, on a :
        $$\left\lbrace\begin{aligned}
        U_{2}&=3U_{1}+2V_{1}=21+16=37\\
        V_{2}&=2U_{1}+3V_{1}=14+24=38
        \end{aligned}\right.$$
        et
        $$\left\lbrace\begin{aligned}
        U_{3}&=3U_{2}+2V_{2}=111+76=187\\
        V_{3}&=2U_{2}+3V_{2}=74+114=188.
        \end{aligned}\right.$$

        \item  Étudions les suites $(X_{n})$ et $(Y_{n})$ :
        \begin{align*}
        X_{n+1} & =U_{n+1}+V_{n+1}\\
        & =3U_{n}+2V_{n}+2U_{n}+3V_{n}\\
        & =5(U_{n}+V_{n})\,.
        \end{align*}

        On obtient alors, pour tout $n \in \N$ :
        $$X_{n+1}=5X_{n}\,.$$
        La suite $(X_{n})$ est la suite géométrique de raison $5$ et de premier terme :
        $$X_{0}=U_{0}+V_{0}=3\,.$$
        De même, on a :
        \begin{align*}
        Y_{n+1} & =U_{n+1}-V_{n+1}\\
        & =3U_{n}+2V_{n}-2U_{n}-3V_{n}\\
        & =U_{n}-V_{n}\,.
        \end{align*}

        On obtient alors, pour tout $n \in \N$ :
        $$Y_{n+1}=Y_{n}\,.$$
        $(Y_{n})$ est une suite constante égale à $Y_{0}=1-2=-1$.\Par
        Pour en déduire $U_{n}$ et $V_{n}$, il suffit d'écrire :
        $$X_{n}+Y_{n}=2U_{n} \qquad \text{et} \qquad X_{n}-Y_{n}=2V_{n}\,.$$
        On a alors, par définition des suites géométriques :
        $$X_{n}=3 \times 5^{n}$$
        et on a :
        $$\left\lbrace\begin{aligned}
    U_{n}&=\frac{X_{n}+Y_{n}}{2}=\frac{3 \times 5^{n}-1}{2}\\
 V_{n}&=\frac{X_{n}-Y_{n}}{2}=\frac{3 \times 5^{n}+1}{2}
        \end{aligned}\right.$$
\end{questions}
