\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
u_{n+1}-u_{n} & = \sqrt{2+u_{n}}-u_{n}\\
              & = \big( \sqrt{2+u_{n}}-u_{n}) \times {\color{DR}\frac{\sqrt{2+u_{n}}+u_{n}}{\sqrt{2+u_{n}}+u_{n}}}\\
              & = \frac{(\sqrt{2+u_{n}}-u_{n}) (\sqrt{2+u_{n}}+u_{n})}{\sqrt{2+u_{n}}+u_{n}}\\
              & = \frac{2+u_{n}-u_{n}^2}{\sqrt{2+u_{n}}+u_{n}}.
\end{align*}

\newpage

\item En posant $x=u_n$, sachant d'après l'énoncé que $0 \leqslant u_n \leqslant 2$,  on a:
\[
u_{n+1}-u_{n}  = \frac{2+x-x^2}{\sqrt{2+x}+x}.
\]
$\sqrt{2+x} > 0$ et $x \geqslant 0$, donc $\sqrt{2+x}+x > 0$; $u_{n+1}-u_{n}$ est alors du signe de $2+x-x^2$.

Le polynôme $2+x-x^2$ a pour racines $-1$ et $2$ (racines évidentes).
\[
\begin{array}{|R|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty &  & -1 &  & 2 &  & +\infty\\
\hline
2+x-x^2 &  & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
\end{array}
\]
\item $0 \leqslant x \leqslant 2$. Ainsi, $u_{n+1}-u_n \geqslant 0$.

Ainsi, la suite $(u_n)$ est croissante.
\end{questions}
