Notons que:
\[
\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.
\]
Ainsi,
\[
S = 1 + \left(\frac{\sqrt2}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{19}.
\]
On peut alors appliquer la formule:
\[
1+q+q^2 + \cdots + q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}.
\]
Cela donne:
\[
S = \dfrac{ 1 - \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{20} }{ 1 - \frac{\sqrt2}{2} } = \dfrac{ \frac{ 2^{20} - 2^{10} }{ 2^{20} } }{ \frac{ 2-\sqrt2 }{2} } = \frac{ 2^{20} - 2^{10} }{ 2^{20} } \times \frac{2}{ 2-\sqrt2 } = \frac{ 2^{11}\big( 2^{10}-1 \big)}{2^{20}\big( 2-\sqrt2 \big)}
\]
Finalement, on arrive à:
\[
S = \frac{2^{10}-1}{2^9\big(2-\sqrt2\big)}.
\]
Cette écriture ne convient pas à ce qui est demandé car on souhaite un dénominateur entier. Il faut donc poursuivre le calcul.
\[
S = \frac{2^{10}-1}{2^9\big(2-\sqrt2\big)}\textcolor{DR}{\times\frac{2+\sqrt2}{2+\sqrt2}} =   \dfrac{\numprint{1023}(2+\sqrt2)}{\numprint{1024}}.
\]
