Pour tout réel $x$,
\begin{align*}
f(x+2\pi) & = 1+\sin(x+2\pi)+\dfrac{1}{2}\cos\big[2(x+2\pi)\big]\\
& = 1+\sin x+\dfrac{1}{2}\cos(2x)
\intertext{(car les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques)}
& = f(x).
\end{align*}

La fonction $f$ est donc périodique, et $2\pi$ en est une période.

