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\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item
\begin{itemize}
\item \'Etudions d'abord la parité de $f$: pour tout réel $x$,
\begin{align*}
f(-x) & = \frac{\cos (-x)}{3+\sin^2 (-x)}\\
      & = \frac{\cos x}{3+(-\sin x)^2}\\
      & = \frac{\cos x}{3+\sin^2 x}\\
      & = f(x).
\end{align*}
$f$ est donc paire.

\Par

\item \'Etudions la périodicité de $f$.

Les fonctions $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto\sin x$ sont $2\pi$-périodiques.

Par conséquent, $f$ est $2\pi$-périodique.
\end{itemize}

\item Le fait que $f$ soit $2\pi$-périodique nous permet d'étudier $f$ sur n'importe quel intervalle d'amplitude $2\pi$.

De plus, le fait que $f$ soit paire nous permet d'étudier $f$ sur $[0;+\infty[$.

En combinant les deux, nous pouvons étudier $f$ sur $I=[0;\pi]$. En effet, par symétrie, on pourra avoir les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$ et par translation de vecteur $2k\pi\vec{i}$, $k\in\Z^*$, on pourra avoir le reste des variations de $f$ sur \R.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Sur $I=[0;\pi]$,
\begin{itemize}
\item $\sin x \geqslant 0$
\item $\begin{aligned}[t]
-1\leqslant \sin x \leqslant 1 & \iff 0 \leqslant \sin^2x \leqslant 1\\
& \iff -5\leqslant \sin^2x-5 \leqslant -4
\end{aligned}$
\item $\big(3+\sin^2x\big)^2 > 0$
\end{itemize}
Ainsi, $f'(x) \leqslant 0$ sur $I$.

\item On a le tableau suivant:
\[
\begin{array}{|R|lcr|}
\hline\tabulartitle
x & 0 &  & \pi\\
\hline
f'(x) & 0 & - & 0\\
\hline
      & \tfrac{1\strut}{3} &  & \\
 f(x) &              & \searrow & \\
      &              &          & -\tfrac{1}{3\strut}\\
\hline
\end{array}
\]
\end{questions}
\end{questions}
Pour information, nous avons tracé ci-dessous:
\begin{itemize}
\item en rouge, la partie de la courbé étudiée sur $[0;\pi]$;
\item en bleue, la partie obtenue par symétrie à l'aide de la parité de $f$;
\item en vert, la courbe obtenue par translations
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics{208_trigo_courbefct}
\end{center}
