Commençons par faire un schéma :
\begin{center}
\includegraphics{231_6_fig_34}
\end{center}
\begin{questions}
\item  On a par définition :
\[
f(A)=\gvec{AA} \cdot \gvec{AB}=0
\]
et
\[
f(B)=\gvec{BA} \cdot \gvec{BB}=0.
\]
        On a ensuite :
       \begin{align*}
       f(I) & =\gvec{IA} \cdot \gvec{IB}\\
       & = IA \times IB \times \cos\big(\underbrace{\gvec{IA};\gvec{IB}}_{=\pi}\big)\\
       & = -IA \times IB = -1.
       \end{align*}
        Par ailleurs, on a par définition :
       \begin{align*}
       f(C) & = \gvec{CA} \cdot \gvec{CB} = CA \times CB \times \cos(\gvec{CA},\gvec{CB}).
       \end{align*}
        Le triangle étant équilatéral, on a :
        \[
       CA = CB =2
        \]
        Et
        \[
        (\gvec{CA},\gvec{CB}) = \frac{\pi}{3} \quad \text{ou} \quad
-\frac{\pi}{3}
\]
Dans les deux cas, $\cos(\gvec{CA},\gvec{CB})=\dfrac{1}{2}$  donc :
        \[
        f(C) = 4 \times \frac{1}{2} = 2
        \]
       \item  Pour $E_{0}$, on cherche l'ensemble des points $M$ du
plan tels que  :
\begin{align*}
\gvec{MA} \cdot \gvec{MB}=0 & \iff \big(\gvec{MI}+\gvec{IA}\big)\cdot\big(\gvec{MI}+\gvec{IB}\big)=0\\
        & \iff MI^2+\gvec{MI}\cdot\underbrace{\big(\gvec{IA}+\gvec{IB}\big)}_{=\gvec{0}}+\gvec{IA}\cdot\gvec{IB}=0\\
        & \iff MI^2 = -\gvec{IA}\cdot\gvec{IB}=\dfrac{1}{2}\gvec{AB}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\gvec{AB}\right)=\dfrac{AB^2}{4}\\
        & \iff IM = \dfrac{AB}{2} = IA.
        \end{align*}
        $M$ est donc sur le cercle de centre $I$ et de rayon $IA$.
        On a donc le schéma :
        \begin{center}
\includegraphics{232_6_fig_35}
\end{center}

\item  On a : $\begin{aligned}[t]
        f(M) & =  \gvec{MA} \cdot \gvec{MB} \\
             & =  (\gvec{MI}+\gvec{IA}) \cdot (\gvec{MI}+\gvec{IB}) \\
             & =  \gvec{MI}^{2}+\gvec{MI} \cdot
(\gvec{IA}+\gvec{IB})+\gvec{IA} \cdot \gvec{IB}
        \end{aligned}$\\
        $I$ étant le milieu de $[AB]$, on a alors :
        \[
        \gvec{IA}+\gvec{IB}=\vec{0}
        \]
        Et comme précédemment, on a :
       \[
       \gvec{IA} \cdot \gvec{IB}=-\frac{1}{4}AB^{2}=-1
       \]
       D'où, finalement :
        \[
        f(M)=MI^{2}-1
        \]

        \item  Pour déterminer $E_k$, reprenons
l'expression de $f(M)$ déterminée à la question précédente :
        \[
        MI^{2}-1=k
        \]
        Ce qui est équivalent à :
      \[
      MI^2 = k+1
      \]
        \begin{itemize}
                \item  Si $k\geq-1$, on obtient le cercle de centre
$I$ et de rayon $\sqrt{k+1}$ ;

                \item  si $k<-1$, c'est l'ensemble vide.
        \end{itemize}
        \begin{Remarque} si $k=-1$, l'ensemble est réduit au point
$I$.\end{Remarque}

        Comme $f(C)=2$, $E_2$ est le cercle de centre $I$ passant par $C$.
\begin{center}
\includegraphics{233_6_fig_36}
\end{center}
\end{questions}
