\begin{questions}
\item  Notons $[MH]$ la hauteur du triangle $AMB$ ; on a alors :
        \[
        {\cal A}(AMB)=\frac{AB \times MH}{2}\,.
        \]
 Pour que l'aire en question vaille $4$, il faut et il suffit que
$MH=2$, puisque
        ${AB=4}$ ; on obtient donc deux droites parallèles à $(AB)$
et distantes de $2$~cm de
        cette dernière, ainsi que le montre la figure suivante :

        \Par

        \begin{center}
        \includegraphics{233_6_fig_27}
        \end{center}

\newpage

\item  On obtient $MA=MB$, soit la médiatrice de $[AB]$, d'où  le schéma :
       \begin{center}
        \includegraphics{234_6_fig_28}
        \end{center}

        \item  Ici, on doit avoir :
       \[
       \gvec{AB} \cdot \gvec{AM}=0
       \]
        $(AM)$ doit donc être perpendiculaire à $(AB)$ (c'est une condition nécessaire et suffisante) ; on obtient donc la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$.
        \begin{center}
        \includegraphics{234_6_fig_29}
        \end{center}

        \item  On obtient ici le cercle de diamètre $[AB]$ (cas
classique du cours) :
        \begin{center}
        \includegraphics{234_6_fig_30}
        \end{center}

%        \item  Technique classique, il suffit d'introduire ici le
%milieu du segment $[AB]$ ; en effet on a, $I$ étant le milieu de $[AB]$, d'après le théorème de la médiane:
%\[MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{1}{2} AB^2\]
%Donc  :
%       \[
%       MA^{2}+MB^{2}=2MI^{2}+8
%       \]
%Et on obtient  :
%        \[
%        MI^{2}=\dfrac{8-2}{2}=-3\;,
%        \]
%ce qui est impossible : il n'y a donc pas de solution.

\item  On utilise ici l'identité remarquable suivante :
\[
MA^{2}-MB^{2}= (\gvec{MA}+\gvec{MB})\cdot(\gvec{MA}-\gvec{MB})=
(\gvec{MA}+\gvec{MB}) \cdot (\gvec{BA}).
\]
En introduisant le milieu $I$ de $[AB]$, on obtient :
\[
\gvec{MA}+\gvec{MB}=\gvec{MI}+\gvec{IA}+\gvec{MI}+\gvec{IB}=2\gvec{MI}.
\]
 On a donc finalement :
\[
MA^{2}-MB^{2}=2\gvec{MI}\cdot\gvec{BA}.
\]
On doit donc avoir :
\[
\gvec{MI}\cdot\gvec{BA}=-12.
\]
Considérons le point $H$ de la droite $(AB)$ tel que :
\[
\gvec{HI} \cdot \gvec{BA}=-12,
\]
c'est-à-dire, comme $H$, $I$ et $B$ sont alignés, $HI\times BA=12$ et $\gvec{HI}$ et $\gvec{BA}$ de sens contraire.

Alors l'ensemble des points $M$ est la droite passant par $H$       perpendiculaire à $(AB)$, comme le montre le schéma suivant (on doit avoir \linebreak$IH=3$~cm) :
        \begin{center}
        \includegraphics{235_6_fig_31}
        \end{center}
        \end{questions}
