\begin{questions}
\item On a $\gvec{\text{AB}}\dbinom{5}{-5}$.

Le milieu de [AB] est I$\left(\frac{3}{2}~;~-\frac{1}{2}\right)$.

\begin{align*}
\text{M}(x~;y)\in\mathcal{D} & \Longleftrightarrow \gvec{\text{AB}}\cdot\gvec{\text{IM}}=0\\
&\Longleftrightarrow \dbinom{5}{-5}\cdot\begin{pmatrix}x-\frac{3}{2} \\[10pt] y+\frac{1}{2}\end{pmatrix}=0\\
&\Longleftrightarrow 5\left(x-\frac{3}{2}\right)-5\left(y+\frac{1}{2}\right)=0\\
&\Longleftrightarrow 5x-5y-10=0\\
&\Longleftrightarrow x-y-2=0.
\end{align*}

Une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est donc $x-y-2=0$.

\item Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est un vecteur normal de $\mathcal{D}^\prime$, soit par exemple $\gvec{u}\dbinom{2}{-5}$. Ainsi, une équation de $\mathcal{D}$ est de la forme :
\[
-5x-2y+c=0\qquad,\qquad c\in\R.
\]
\[
\text{A}(1~;3)\in\mathcal{D} \Longleftrightarrow -5\times1-2\times3+c=0\Longleftrightarrow c=11.
\]
Une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est donc $5x+2y-11=0$.

\item Notons A le point d'abscisse 2 appartenant au cercle de centre $O$ et de rayon 3 (donc d'équation $x^2+y^2=3^2$). Son ordonnée est donc : $y_A=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5$.

Ainsi, $A\big(2~;~\sqrt5\big)$.

$\mathcal{D}$ est tangente au cercle en $A$ donc $\gvec{OA}\dbinom{2}{\sqrt5}$ est un vecteur normal à $\mathcal{D}$; d'après le cours, une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est donc:
\[
2x+\sqrt5y+c=0,\ c\in\R.
\]
$A\in\mathcal{D}$ donc $2x_A+\sqrt5y_A+c=0$, soit :
\[
c=-2x_A-\sqrt5y_A=-4-5=-9.
\]
Une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est donc:
\[
2x+\sqrt5y-9=0.
\]

\item $\begin{aligned}[t]
\text{M}(x~;y)\in\mathcal{D} & \Longleftrightarrow \gvec{\text{AM}}\cdot\gvec{n}=0\\
& \Longleftrightarrow \dbinom{x+1}{y-2}\cdot\dbinom{2}{-1}=0\\
& \Longleftrightarrow 2(x+1)-1(y-2)=0\\
& \Longleftrightarrow 2x-y+4=0.
\end{aligned}$

Une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est donc $2x-y-4=0$.
\end{questions}
