\begin{questions}
\item  On a :
\begin{align*}
&\gvec{AB}(3~;\sqrt{3}), &\text{donc}\quad &\|\gvec{AB}\| =
\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2} = 2 \sqrt{3} \\
&\gvec{AC}(0~;2\sqrt{3}), & \text{donc}\quad &\|\gvec{AC}\| =
\sqrt{0^2+(2\sqrt{3})^2} = 2 \sqrt{3}\,.
\end{align*}
On a :
\[ \gvec{AB}\cdot\gvec{AC} = (3\times 0) + (\sqrt{3} \times
2\sqrt{3}) = 6 \]
et
\[ \gvec{AB} \cdot \gvec{AC} = \|\gvec{AB}\| \times \|\gvec{AC}\| \times \cos (\gvec{AB},  \gvec{AC}).
\]
D'où :
        \[
        \cos (\gvec{AB}, \gvec{AC}) = \frac{6}{\|\gvec{AB}\| \times
\|\gvec{AC}\|} =
        \frac{6}{12}=\frac{1}{2}\,.
        \]
On sait de plus que :
        \[
        \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1,
        \]
donc :
        \[
        \sin^2(\gvec{AB}, \gvec{AC}) = 1-\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}.
        \]
D'où :
       \[
       \sin(\gvec{AB}, \gvec{AC}) =
\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{ou}\quad
\sin(\gvec{AB}, \gvec{AC}) =  -\frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Comme $\cos(\gvec{AB}, \gvec{AC})$ est positif, on sait que la mesure
principale de $(\gvec{AB}, \gvec{AC})$ appartient à
$\left[-\frac{\pi}{2}~;\frac{\pi}{2}\right]$ et donc :
        \[
        (\gvec{AB}, \gvec{AC}) =  \frac{\pi}{3}\quad\text{ou}\quad
(\gvec{AB}, \gvec{AC}) =  -\frac{\pi}{3}\,.
\]
\begin{center}
\includegraphics{238_6_fig_18}
\end{center}

La figure permet d'affirmer que :
\[(\gvec{AB}, \gvec{AC}) = \frac{\pi}{3}\]
donc que ${\sin (\gvec{AB}, \gvec{AC}) =
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

        \item  On a :
        \[
        \|\gvec{AB}\| = \|\gvec{AC}\| \iff AB = AC
        \]
        donc $ABC$ est isocèle en $A$.\par
De plus, \[ (\gvec{AB}, \gvec{AC}) = \frac{\pi}{3}.\]
        Le triangle $ABC$ est donc équilatéral.
\end{questions}
