La figure n'est pas demandée, mais elle peut aider... comme souvent\linebreak en géométrie !
\begin{center}
\includegraphics{239_6_fig_26}
\end{center}

\begin{itemize}
\item \textit{Une première méthode : }

On considère le repère orthonormé $\left(D~;\gvec{DC},\gvec{DA}\right)$.

Dans ce repère : $A(0~;1)$, $B(1~;1)$, $I\left(1~;\frac{2}{3}\right)$ et $J\left(\frac{2}{3}~;0\right)$.

On a donc :
\[
\gvec{AI}\left(1~;-\frac{1}{3}\right)\qquad\text{et}\qquad\gvec{BJ}\left(-\frac{1}{3}~;-1\right).
\]
Donc :
\[
\gvec{AI}\cdot\gvec{BJ}=1\times\left(-\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{3}\right)\times(-1)=0.
\]
Les vecteurs $\gvec{AI}$ et $\gvec{BJ}$ sont donc orthogonaux, et les droites $(AI)$ et $(BJ)$ sont donc perpendiculaires.

\item \textit{Une deuxième méthode, utilisant la relation de Chasles :}
\begin{align*}
\gvec{AI}\cdot\gvec{BJ} & = \left(\gvec{AB}+\gvec{BI}\right)\cdot\left(\gvec{BC}+\gvec{CJ}\right)\\[8pt]
& = \gvec{AB}\cdot\gvec{BC} + \gvec{AB}\cdot\gvec{CJ} + \gvec{BI}\cdot\gvec{BC} + \gvec{BI}\cdot\gvec{CJ}\\[8pt]
& = 0 + AB\times\left(-\frac{1}{3}\gvec{AB}\right) + BC\times\frac{1}{3}\gvec{BC} + 0\\[8pt]
& = -\dfrac{1}{3}AB^2+\dfrac{1}{3}BC^2\\[8pt]
& = 0 \text{ car } AB=BC.
\end{align*}
\end{itemize}

\begin{methode}
Utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître soit des vecteurs orthogonaux, soit des vecteurs dont on peut exprimer la longueur, est une technique plutôt répandue.
\end{methode}
