\begin{questions}
\item D'après le cours,
\[
\begin{cases}
x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{-5+1+7}{3}=1\\[6pt]
y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{1-2+4}{3}=1.
\end{cases}
\]
Ainsi, $G(1~;~1)$.

\item Le centre du cercle circonscrit à $ABC$ est le point d'intersection des médiatrices.
\begin{itemize}
\item \textit{Médiatrice de $[AB]$ }: le milieu $M_1$ de $[AB]$ a pour coordonnées :
\[
x_1=\dfrac{x_A+x_B}{2}=-2\quad\text{et}\quad y_1=\dfrac{y_A+y_B}{2}=-\dfrac{1}{2}.
\]
Soit $M(x~;~y)$ un point de la médiatrice de $[AB]$. Alors,
\begin{align*}
\gvec{MM_1}\cdot\gvec{AB}=0 & \iff \dbinom{-2-x}{-\frac{1}{2}-y}\cdot\dbinom{1-(-5)}{-2-1}=0\\
& \iff \dbinom{-2-x}{-\frac{1}{2}-y}\cdot\dbinom{6}{-3}=0\\
& \iff 6(-2-x)-3\left(-\frac{1}{2}-y\right)=0\\
& \iff -6x+3y-\frac{21}{2}=0\\
& \iff 12x-6y+21=0.
\end{align*}
Ainsi, une équation cartésienne de la médiatrice de $[AB]$ est\linebreak $12x-6y+21=0$.

\item \textit{Médiatrice de $[AC]$ }: le milieu $M_2$ de $[AC]$ a pour coordonnées:
\[
x_2=\dfrac{x_A+x_C}{2}=1\quad\text{et}\quad y_2=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{5}{2}.
\]
Soit $M(x~;~y)$ un point de la médiatrice de $[AC]$. Alors,
\begin{align*}
\gvec{MM_2}\cdot\gvec{AC}=0 & \iff \dbinom{1-x}{\frac{5}{2}-y}\cdot\dbinom{7-(-5)}{4-1}=0\\
& \iff \dbinom{1-x}{\frac{5}{2}-y}\cdot\dbinom{12}{3}=0\\
& \iff 12(1-x)+3\left(\frac{5}{2}-y\right)=0\\
& \iff -12x-3y+\frac{39}{2}=0\\
& \iff 24x+6y-39=0.
\end{align*}
Ainsi, une équation cartésienne de la médiatrice de $[AC]$ est\linebreak $24x+6y+39=0$.
\end{itemize}
Trouvons maintenant les coordonnées de leur point d'intersection en\linebreak résolvant le système:
\[
\begin{cases}
12x-6y+21=0\quad(E_1)\\
24x+6y-39=0\quad(E_2)
\end{cases}.
\]
\begin{itemize}
\item $(E_1)+(E_2) \iff 36x-18=0 \iff x = \dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}$;
\item $2(E_1)-(E_2) \iff -18y+81=0 \iff y = \dfrac{81}{18}=\dfrac{9}{2}$.
\end{itemize}
Ainsi, $I\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{9}{2}\right)$.

\item
\begin{itemize}
\item \textit{Hauteur passant par $B$} : soit $M(x~;~y)$ sur cette hauteur. Alors,
\begin{align*}
\gvec{AC}\cdot\gvec{BM}=0 & \iff \dbinom{12}{3}\cdot\dbinom{x-1}{y+2}=0\\
& \iff 12x+3y-6=0\\
& \iff 4x+y-2=0.
\end{align*}

\item \textit{Hauteur passant par $C$} : soit $M(x~;~y)$ sur cette hauteur. Alors,
\begin{align*}
\gvec{AB}\cdot\gvec{CM}=0 & \iff \dbinom{6}{-3}\cdot\dbinom{x-7}{y-4}=0\\
& \iff 6x-3y-30=0\\
& \iff 2x-y-10=0.
\end{align*}
Pour trouver l'intersection de ces deux droites, on résout le système:
\[
\begin{cases}
4x+y-2=0\quad(E_1)\\
2x-y-10=0\quad(E_2)
\end{cases}
\]
\begin{itemize}
\item $(E_1)+(E_2)\iff 6x-12=0 \iff x = 2$;
\item $(E_1)-2(E_2) \iff 3y+18=0 \iff y=-6$.
\end{itemize}
Ainsi, $H(2~;~-6)$.
\end{itemize}

\item $\gvec{GI}\dbinom{\tfrac{1}{2}-1}{\tfrac{9}{2}-1}$ donc $\gvec{GI}\dbinom{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{7}{2}}$.

De plus, $\gvec{GH}\dbinom{2-1}{-6-1}$ donc $\gvec{GH}\dbinom{1}{-7}$.
\[
-\frac{1}{2}\times(-7)-\frac{7}{2}\times1=0
\]
donc $\gvec{GI}$ et $\gvec{GH}$ sont colinéaires. De plus, ils ont un point en commun donc $G$, $I$ et $H$ sont alignés.

\item $\begin{aligned}[t]
M(x~;~y)\in(GH) & \iff \gvec{GH}\dbinom{1}{-7}\text{ et }\gvec{GM}\dbinom{x-1}{y-1}\text{ sont colinéaires}\\
& \iff 1\times(y-1)-(-7)(x-1)=0\\
& \iff 7x+y-8=0.
\end{aligned}$

Ainsi, une équation de la droite d'Euler de $ABC$ est $7x+y-8=0$.
\end{questions}
