\begin{questions}
        \item
        $K$ est le milieu de $[AI]$, et on a donc :
        \[
        \gvec{KA}+\gvec{KI}=\gvec{0}
        \]
        Par ailleurs, $I$ étant le milieu de $[BC]$, on a :
        \[
        \gvec{KB}+\gvec{KC}=2\gvec{KI}=-2\gvec{KA}
        \]
        On en déduit donc la relation vectorielle:
        \[
        2\gvec{KA}+\gvec{KB}+\gvec{KC}=2\gvec{KA}-2\gvec{KA}=\gvec{0}
        \]
        \item
        En utilisant la relation de Chasles, on a pour tout point $M$
        du plan,
        \begin{align*}
        & 2 \gvec{MA} + \gvec{MB} + \gvec{MC} \\
        =\ & 2\left(\gvec{MK}+\gvec{KA}\right)+\left(\gvec{MK}+\gvec{KB}\right)+\left(\gvec{MK}+\gvec{KC}\right)\\
        =\ & 4\gvec{MK}+ \underbrace{2\gvec{KA}+\gvec{KB}+\gvec{KC}}_{=\gvec{0}}
        \end{align*}
        d'où, en identifiant:
        \[
        \alpha = 4.
        \]
        \item  On a :
        \begin{align*}
        2 \gvec{MA} \cdot \gvec{MI} &+ \gvec{MB} \cdot \gvec{MI} +
\gvec{MC} \cdot \gvec{MI} = 0 \\
        &\iff (2\gvec{MA} + \gvec{MB}+\gvec{MC}) \cdot \gvec{MI} = 0
\\
        &\iff 4 \gvec{MK} \cdot \gvec{MI} = 0 \\
        &\iff \gvec{MK} \cdot \gvec{MI} = 0 \\
        &\iff M \text{ est sur le cercle de diamètre }[IK]\,.
        \end{align*}
        L'ensemble des points $M$ cherché est donc le cercle de
diamètre $[IK]$.
\end{questions}
