\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item  Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur
$(AB)$.\\
Par définition, $\gvec{AB} \cdot \gvec{AM} = \gvec{AB} \cdot \gvec{AH}$, et on souhaite que \linebreak$\gvec{AB} \cdot \gvec{AM}=10$ donc $\gvec{AB} \cdot \gvec{AH} = 10$.

Or, $\gvec{AB} \cdot \gvec{AH}>0 \iff \begin{cases}
\gvec{AB}\text{ et }\gvec{AH}\text{ sont de même sens}\\
\gvec{AB} \cdot \gvec{AH}=AB\times AH\end{cases}$

On a donc : $\gvec{AB} \cdot \gvec{AM}=10 \iff\begin{cases}
\gvec{AB}\text{ et }\gvec{AH}\text{ sont de même sens}\\
AB\times AH=10\end{cases}$.

Comme $AB=5$, on en déduit $AH=2$.

La seule position possible pour $H$ est donc :
\begin{center}
\includegraphics{230_6_fig_20}
\end{center}
H étant        le         projeté        orthogonal        de         $M$         sur $(AB)$,        $M$        est        sur        la        droite $\Delta$ perpendiculaire        à        $(AB)$ passant        par        $H$.

Conclusion : l'ensemble        de         tous        les        points         $M$        tels         que \mbox{$\gvec{AB}\cdot\gvec{AM}=10$} est la droite $\Delta$.
  \begin{center}
        \includegraphics{230_6_fig_21}
        \end{center}

\item  On a :
                \begin{align*}
                \gvec{AB} \cdot \gvec{AC} = 10 &\iff C \in \Delta \\
                AC = 4 &\iff C \in \mathcal{C}(A, 4)
                \end{align*}
                Le point $C$ doit donc appartenir à la fois à la
droite $\Delta$ et au cercle $\mathcal{C}$ de centre $A$ et de rayon
$4$.
                               \par
                Comme la distance du point $A$ à la droite $\Delta$
est $2$ ($AH=2$), la droite $\Delta$ est sécante au cercle
$\mathcal{C}$ et il y a deux points possibles : $C_{1}$ et $C_{2}$.
\begin{center}
\includegraphics{230_6_fig_22}
\end{center}
\end{questions}
\item On a :
\begin{center}
\includegraphics{230_6_fig_23}
\end{center}
\[
\gvec{AB} \cdot \gvec{CD} = -\gvec{AB} \cdot \gvec{DC}
\]
Or, $C$ se projette en $H$ sur $(AB)$ donc :
\[ \gvec{AB} \cdot \gvec{CD} = -5\times DH\]
\begin{align*}
DH & = DA+AH\\
& = \frac{7}{5}AB+2\\
& =\dfrac{7}{5}\times5+2\\
& =9.
\end{align*}
Donc :
\begin{align*}
\gvec{AB} \cdot \gvec{CD} & = -AB \times DH = -5 \times 9 = - 45. \\
\gvec{AC} \cdot \gvec{AE}& = AC \times AE = 4 \times 6 = 24. \\
\gvec{AD} \cdot \gvec{AE} &= -AD \times AE' = -7 \times 3 = - 21.
\end{align*}
De plus,
\begin{align*}
        \gvec{BE} \cdot \gvec{CD} &= (\gvec{BA} + \gvec{AE}) \cdot
\gvec{CD} \\
        &= -\gvec{AB} \cdot \gvec{CD} + \gvec{AE} \cdot (\gvec{AD} -
\gvec{AC}) \\
        &= - \gvec{AB} \cdot \gvec{CD} + \gvec{AD} \cdot \gvec{AE} -
\gvec{AC} \cdot \gvec{AE} \\
        &= 45 - 21 - 24 \\
        &= 0\,.
        \end{align*}
        Donc $(BE) \perp (CD)$, ce qui prouve que la droite $(CD)$
est la hauteur issue de $D$ dans le
        triangle $BED$.
\end{questions}
