\begin{questions}
\item D'après le théorème d'Al-Kashi,
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\times AB \times AC \times \cos\big( \widehat{BAC} \big).
\]
Donc:
\begin{align*}
& 20^2  = 10^2 + 12^2 - 2\times10\times12\times\cos\big( \widehat{BAC} \big)\\
\iff & 400  = 100 + 144 - 240\cos\big( \widehat{BAC} \big)\\
\iff & \frac{400-100-144}{-240} = \cos\big( \widehat{BAC} \big)\\
 \iff & \cos\big( \widehat{BAC} \big) = -\frac{13}{20}\\
 % ERREUR  % \iff & \widehat{BAC}  = \cos^{-1} \left( - \frac{13}{20} \right) \approx 130,54^\circ \approx 113^\circ.
\iff & \widehat{BAC}  = \cos^{-1} \left( - \frac{13}{20} \right) \approx 130,54^\circ \approx 131^\circ.
\end{align*}
L'affirmation  est donc \textit{vraie}.

\Par

\item $\begin{aligned}[t]
\mathcal{C}_1\;:\; & x^2+y^2-4x+2y-6=0\\
\iff & (x^2-4x) + (y^2+2y) = 6\\
\iff & (x-2)^2-4 + (y+1)^2-1 = 6\\
\iff & (x-2)^2 + (y+1)^2 = 11.
\end{aligned}$

Ainsi, le centre de $\mathcal{C}_1$ est $\Omega_1(2;-1)$ et celui de $\mathcal{C_2}$ est $\Omega_2(2;1)$.

L'affirmation est donc \textit{fausse}.

\Par

\item L'équation cartésienne canonique de $\mathcal{C}$ est: $x^2+y^2=1$.

$(d)$ a pour équation cartésienne: $x+y-\sqrt2=0$, ou encore $y=\sqrt2-x$.

Si $M(x;y)$ appartient à $\mathcal{C}$ et $(d)$, alors:
\begin{align*}
x^2+(\sqrt2-x)^2 = 1 & \iff x^2+2-2\sqrt2x+x^2=1\\
                     & \iff 2x^2 - 2\sqrt2 x + 1 = 0.
\end{align*}
Le discriminant de $2x^2 - 2\sqrt2 x + 1 = 0$ est:
\[
\Delta = (-2\sqrt2)^2 - 4\times2\times1 = 8 - 8 = 0.
\]

Il admet donc une racine: $x_0=-\frac{-2\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$.

La droite et le cercle n'ayant qu'un unique point d'intersection, la droite est tangente au cercle.

L'affirmation est alors \textit{vraie}.
\end{questions}
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