\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item La médiatrice de $[AB]$ est la droite qui passe par le milieu $I$ de $[AB]$ et qui est perpendiculaire à $(AB)$.\\
On a : $I\left(\frac{1+4}{2}~;\frac{-2-1}{2}\right)$, donc $I\left(\frac{5}{2}~;-\frac{3}{2}\right)$.\\
Par ailleurs, $\gvec{AB}(3~;1)$.
\begin{align*}
M\in D_1 & \iff \gvec{IM}\cdot\gvec{AB}=0\\
& \iff \left(x-\frac{5}{2}\right)\times 3 + \left(y+\frac{3}{2}\right)\times 1 = 0\\
& \iff 3x+y-\frac{15}{2}+\frac{3}{2}=0\\
& \iff 3x+y-6=0
\end{align*}

Une équation de $D_1$ est donc $3x+y-6 = 0$.

\item La médiatrice de $[BC]$ est la droite qui passe par le milieu $J$ de $[BC]$ et qui est perpendiculaire à $(BC)$.\\
On a : $J\left(\frac{4+4}{2}~;\frac{4-1}{2}\right)$, donc $J\left(4~;\frac{3}{2}\right)$.\\
Par ailleurs, $\gvec{BC}(0~;5)$.
\begin{align*}
M\in D_2 & \iff \gvec{JM}\cdot\gvec{BC}=0\\
& \iff \left(x-4\right)\times 0 + \left(y-\frac{3}{2}\right)\times 5 = 0\\
& \iff y-\frac{3}{2}=0\\
& \iff y=\frac{3}{2}
\end{align*}

Une équation de $D_2$ est donc $y=\frac{3}{2}$.

\item Le point d'intersection $K$ de ces deux droites vérifie :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
y=\frac{3}{2}\\
3x+y-6=0
\end{array}
\right.
\quad\iff\quad
\left\lbrace
\begin{array}{l}
y=\frac{3}{2}\\[6pt]
x=\frac{3}{2}
\end{array}
\right.
\]

\newpage


Donc $K\left(\frac{3}{2}~;\frac{3}{2}\right)$ est, par propriété (intersection des médiatrices), le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.\\
Il reste à trouver le rayon de ce cercle, en calculant par exemple $KA$.
\[
KA=\sqrt{\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+\left(-2-\frac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{2}}.
\]
L'équation du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est donc :
\[
\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25}{2}.
\]
\end{questions}
\end{questions}
