\begin{questions}
\item La figure complète se trouve en fin de corrigé.

\item Soit $M(x;y)$ un point de $(BC)$. Alors, $\gvec{BM}$ et $\gvec{BC}$ sont colinéaires.

Or, $\gvec{BM}\dbinom{x-9}{y-7}$ et $\gvec{BC}\dbinom{0-9}{-5-7}$, soit $\gvec{BC}\dbinom{-9}{-12}$.
\begin{align*}
\gvec{BM}\text{ et }\gvec{BC}\text{ colinéaires } & \iff -12(x-9)-(-9)(y-7)=0\\
& \iff -12x+108+9y-63=0\\
& \iff -12x+9y+45=0\\
& \iff -3(4x-3y-15)=0\\
& \iff 4x-3y-15=0\text{ car }-3\neq0.
\end{align*}
Une équation cartésienne de $(BC)$ est donc $4x-3y-15=0$.

\item $(\Delta)\perp(BC)$ et $A\in(\Delta)$ donc, pour tout point $M(x;y)\in(\Delta)$:
\begin{align*}
\gvec{AM}\cdot\gvec{BC}=0 & \iff \dbinom{x-(-1)}{y-2}\cdot\dbinom{-9}{-12}=0\\
& \iff -9(x+1)-12(y-2)=0\\
& \iff -9x-12y-9+24=0\\
& \iff -9x-12y+15=0\\
& \iff -3(3x+4y-5)=0\\
& \iff 3x+4y-5=0\text{ car }-3\neq0.
\end{align*}
Une équation cartésienne de $(\Delta)$ est donc $3x+4y-5=0$.

\enlargethispage*{\baselineskip}
\item $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$ donc $(AH)\perp(BC)$ et $H\in(BC)$. $H$ est donc l'intersection de $(\Delta)$ et $(BC)$. Pour trouver ses coordonnées, on doit résoudre le système formé par les équations de ces deux droites.

\begin{align*}
\begin{cases}
4x-3y-15=0 & L_1\\
3x+4y-5=0 & L_2
\end{cases} & \iff \begin{cases}
16x-12y-60=0 & L'_1 \leftarrow 4L_1\\
9x+12y-15=0 & L'_2 \leftarrow 3L_2
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
25x-75=0 & L'_1 \leftarrow L'_1+L'_2\\
3x+4y-5=0 & L_2
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
x = \dfrac{75}{25}=3\\
3\times3+4y-5=0
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
x=3\\
y=\dfrac{5-9}{4}=-1
\end{cases}
\end{align*}
Ainsi, $H(3;-1)$.

\item Le cercle $(\Gamma)$ étant tangent à $(BC)$ et ayant pour centre $A$, son rayon est égal à $AH$.
\begin{align*}
AH & = \sqrt{(x_H-x_A)^2 + (y_H-y_A)^2}\\
& = \sqrt{(3+1)^2 + (-1-2)^2}\\
& = \sqrt{16+9}\\
AH & = 5.
\end{align*}
Une équation cartésienne de $(\Gamma)$ est donc :
\[
(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = 5^2
\]
soit:
\[
(x+1)^2+(y-2)^2=25.
\]

\item Les points d'intersection de $(\Gamma)$ avec l'axe des abscisses sont les points de $(\Gamma)$ d'ordonnée nulle, donc leur abscisse vérifie:
\[
(x+1)^2+(0-2)^2=25
\]
soit, après simplification:
\[
x^2+2x-20=0,
\]
équation dont le discriminant est égal à $2^2-4\times1\times(-20)=84>0$, donc ayant deux solutions distinctes:
\[
x_1=\dfrac{-2-\sqrt{84}}{2}=\dfrac{-2-\sqrt{4\times21}}{2}=\dfrac{-2-2\sqrt{21}}{2}=-1-\sqrt{21}
\]
et donc:
\[
x_2=-1+\sqrt{21}.
\]
\end{questions}
\begin{center}
\includegraphics{271_6_fig_41}
\end{center}
