\begin{questions}
\item Par définition, un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $2x+y+2=0$ est $\gvec{u}\dbinom{-1}{2}$, et un vecteur normal est $\gvec{n}\dbinom{2}{1}$.

\begin{methode}
Pour rappel, la droite d'équation $ax+by+c=0$ admet pour vecteur directeur $\gvec{u}\dbinom{-b}{a}$ et pour vecteur normal $\gvec{n}\dbinom{a}{b}$.
\end{methode}

\item $\Delta$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$ donc un vecteur directeur de $\Delta$ est $\gvec{n}$. Ainsi, une équation cartésienne de $\Delta$ est de la forme $1x-2y+c=0$, où $c\in\R$.

Or, $A\in\Delta$ donc $x_A-2y_A+c=0$, soit $2-2\times4+c=0$. On obtient alors $c=6$.

Une équation cartésienne de $\Delta$ est donc $x - 2y + 6 = 0$.

\item Par définition, $H$ est le point d'intersection de $\mathcal{D}$ et $\Delta$. Ses coordonnées sont donc solutions du système:
\[
\begin{cases}
2x+y+2=0 & (L_1)\\
x-2y+6=0 & (L_2)
\end{cases}
\]
\begin{align*}
(L_1)-2(L_2) & \iff (2x+y+2)-2(x-2y+6)=0\\
             & \iff 5y = 10\\
             & \iff y = 2.
\end{align*}


\begin{align*}
2(L_1)+(L_2) & \iff 2(2x+y+2)+(x-2y+6)=0\\
             & \iff 5x = -10\\
             & \iff x = -2.
\end{align*}

Ainsi, $H(-2;2)$.

\item Le centre $I$ du cercle $\mathcal{C}$ est le milieu de $[AH]$, et a pour coordonnées:
\[
\left(\frac{x_A+x_H}{2} ; \frac{y_A+y_H}{2}\right) = \left( \frac{2+(-2)}{2} ; \frac{4+2}{2} \right) = (0;3).
\]
Le carré du rayon de $\mathcal{C}$ est:
\[
IA^2 = (2-0)^2 + (4-3)^2 = 4 + 1 = 5.
\]
Une équation cartésienne de $\mathcal{C}$ est donc:
\[
x^2 + (y-3)^2 = 5.
\]

\item Les points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec d'axe des ordonnées ont une abscisse nulle. On remplace donc $x$ par 0 dans l'équation de $\mathcal{C}$ pour trouver les valeurs de $y$ qui satisfont cette équation:
\begin{align*}
(y-3)^2 = 5 & \iff y-3 = -\sqrt5\qquad\text{ou}\qquad y-3 = \sqrt5\\
            & \iff y = 3 - \sqrt5 \qquad\text{ou}\qquad y = 3 + \sqrt5.
\end{align*}
Ainsi, $P(0;3-\sqrt5)$ et $Q(0;3+\sqrt5)$.
\end{questions}
