\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. Le centre du cercle est $I$, milieu de $[AB]$.\\
$I$ a pour coordonnées $\left(\frac{1-4}{2}~;\frac{-3+0}{2}\right)$, donc $I\left(-\frac{3}{2}~;-\frac{3}{2}\right)$.\\
Le rayon du cercle est la longueur $AI$ (ou $BI$).
\begin{align*}
AI^2 & = \left(-\frac{3}{2}-1\right)^2+\left(-\frac{3}{2}+3\right)^2\\
& = \frac{25}{4}+\frac{9}{4} = \frac{34}{4}.
\end{align*}
Donc une équation du cercle est $\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{34}{4}$, ou encore, en développant :
\[
x^2 + 3x +\frac{9}{4} + y^2 + 3y + \frac{9}{4}=\frac{34}{4}
\]
On obtient finalement : $x^2 + y^2 + 3(x + y) = 4$.

\item Réponse \choix[c]. Le carré du rayon est $\frac{34}{4}$, donc le rayon est $\sqrt{\frac{34}{4}}=\frac{\sqrt{34}}{2}$.

\item Réponse \choix[a]. En remplaçant $x$ par 1 et $y$ par 0 dans l'équation du cercle, on obtient :
\[ 1^2 + 0^2 + 3(1 + 0) = 1 + 3 = 4\]
Les coordonnées de $E$ vérifient l'équation du cercle, donc $E$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.

\item Réponse \choix[b]. Si $x = 1$, on a :
\[1^2 + y^2 + 3(1 + y) = 4\]
et donc : \[ y^2 + 3y  = 0\]
ou, en factorisant : \[y(y + 3) = 0\]
Cette équation a pour solutions 0 et $-3$, donc il y a deux points du cercle d'abscisse 1, le point $E$ et le point de coordonnées $(1~;-3)$, et il y a donc deux tangentes.

\item Réponse \choix[c]. On ramène l'équation du cercle à la forme :
\[ (x-a)^2 + (y-b)^2 =  R^2 \]
\begin{align*}
 & x^2+y^2+14x-10y+48=0\\
 \iff & (x+7)^2-49+(y-5)^2-25+48=0\\
 \iff & (x+7)^2+(y-5)^2=26
\end{align*}
Ce cercle a pour centre le point $I(-7~;5)$ et pour rayon $R=\sqrt{26}$.\\
Par suite, son périmètre est $2\pi R = 2\pi\sqrt{26}$.
\end{questions}
