On va noter $A$ : \og  L'alarme s'est déclenchée\fg  et $I$ : \og  Il y a eu intrusion\fg .

Il convient de remarquer que 2000 est une année bissextile.

\begin{questions}
\item
        \begin{questions}
        \item Cette question renvoie aux liens entre statistiques et probabilités, et notamment à la loi des grands nombres (la fréquence d'un événement converge vers sa probabilité) qui autorise à interpréter les fréquences statistiques comme des probabilités. La fréquence statistique $i$ des intrusions par jour se calcule par :
            \[         
            i = \dfrac{28 + 30 + 26}{2 \times 365+366} \approx \numprint{0,0766}. \]
        On en déduit que la probabilité d'une intrusion est de $p(I) = 0,077$ à $10^{-3}$ près. Puis que $p(\bar{I}) =
        0,923$ à $10^{-3}$ près.

        \item D'après le tableau statistique, on peut également calculer la probabilité $p(I \cap A)$ en tant que fréquence du nombre d'intrusions ayant
        déclenché l'alarme :
            \[         p(I \cap A) = \dfrac{25 + 28 + 23 }{2 \times 365+366} \approx \numprint{0,0693}
            . \]
        \end{questions}

\item On demande la probabilité conditionnelle $p_I(A)$. L'énoncé ne nous la donne pas directement, donc il faut utiliser la définition
d'une probabilité conditionnelle :
    \[ p_I(A) = \dfrac{p(A \cap I)}{p(I)} \approx \dfrac{0,069}{0,077} \approx 0,896. \]


\item On peut maintenant représenter les données sous forme d'arbre :

    \begin{center}
    \includegraphics{299_7_fig_9}
    \end{center}

On demande $p(A)$ qu'on va calculer avec la loi des probabilités totales :
    \begin{align*}
            A & = (I \cap A) \cup (\bar{I} \cap A) \\
            p(A) & = \underbrace{p(I \cap A )}_{\text{calculé précédemment}} + p(\bar{I} \cap A) \\
            p(\bar{I} \cap A) & = p(\bar{I}) \times p_{\bar{I}}( A ) \approx 0,923 \times 0,02 \approx 0,018. \\
            p(A)& \approx 0,069 + 0,018 \approx 0,087.
    \end{align*}

\item Dans cette question, on sait que l'alarme s'est déclenchée. On demande la probabilité qu'il s'agisse d'une intrusion sachant que l'alarme s'est déclenchée, soit $p_A(I)$. Par définition des probabilités conditionnelles :
    \[ p_A(I) = \dfrac{p(I \cap A) }{p(A)} \approx \dfrac{0,069}{0,087 } \approx 0,793. \]
    Sherlock répondra qu'il y a plus de 3 chances sur 4 qu'il y ait eu intrusion.

\end{questions}
