\begin{questions}
\item Avec 2 enfants, l'univers des possibles est :
\[
\Omega = \{ (G,G) ; (G,F) ; (F,G) ; (F,F) \}
\]
L'événement $(F,G)$ correspond ici au fait que l'aînée est une fille et le cadet, un garçon.

\Par

Alors,
\begin{itemize}
\item $p(A)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$;
\item $p(B)=\dfrac{3}{4}$ (\og au plus une fille \fg{}  signifie \og aucune fille ou une fille \fg;
\item $p(A\cap B)=\dfrac{2}{4}$ (en effet, $A\cap B$ est l'événement \og il y a deux enfants de sexes différents, dont au plus une fille \fg, ce qui correspond aux événements $(F,G)$ et $(G,F)$.
\end{itemize}
On s'aperçoit alors que $p(A\cap B)\neq p(A)\times p(B)$ donc les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

\item Dans cette question, il y a 3 enfants. L'univers des possibles est alors:
\begin{align*}
\Omega' & =\{(F,F,F);(F,F,G);(F,G,F);(F,G,G);(G,F,F);\\
& \hspace*{15em}(G,F,G);(G,G,F);(G,G,G)\}.
\end{align*}

\begin{itemize}
\item $p(A)=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$;
\item $p(B)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$;
\item $p(A\cap B)=\dfrac{3}{8}=p(A)\times p(B)$.
\end{itemize}

Donc $A$ et $B$ sont cette fois-ci indépendants.


\item Avec $n$ enfants, il y a en tout $2^n$ $n$-uplets possibles ($n$ enfants, 2 possibilités par enfant).
\begin{itemize}
\item $p(A)=1-\dfrac{2}{2^n}=1-\dfrac{1}{2^{n-1}}$. En effet, tous les $n$-uplets conviennent sauf ceux composés uniquement de garçons et ceux composés uniquement de filles.

\item $p(B)=\dfrac{n+1}{2^n}$. En effet, il y a un $n$-uplet avec 0 fille (celui composé uniquement de garçons) et $n$ avec uniquement une fille;

\item $p(A\cap B)=\dfrac{n}{2^n}$. En effet, on ne s'intéresse ici qu'aux $n$-uplets où il y a au moins un garçon et au plus une fille, donc les $n$-uplets du type $(F,G,G,\ldots,G)$ ou $(G,G,\ldots,G,F,G,G,\ldots)$ : ces $n$-uplets sont formés en mettant \og F \fg{} n'importe où parmi les $n$ positions possibles; il y en a donc $n$.
\end{itemize}

Or, $\begin{aligned}[t]
p(A)\times p(B) & = \left(1-\dfrac{2}{2^n}\right)\times\dfrac{n+1}{2^n}\\
& = \dfrac{n+1}{2^n} - \dfrac{2}{2^n}\times\dfrac{n+1}{2^n}\\
& = \dfrac{2^n(n+1)-2(n+1)}{2^n \times 2^n}\\
& = \dfrac{2(n+1)(2^{n-1}-1)}{2^{2n}}.
\end{aligned}$

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
 & p(A)\times p(B) = p(A\cap B)\\
  \iff &\dfrac{2(n+1)(2^{n-1}-1)}{2^{2n}}=\dfrac{n}{2^n}\\
 \iff &2(n+1)(2^{n-1}-1)=n\times2^n\\
 \iff &(n+1)(2^{n-1}-1)=n\times2^{n-1}\\
 \iff &n\times2^{n-1} + 2^{n-1} - n-1 = n\times2^{n-1}\\
 \iff &2^{n-1}=n+1.
\end{aligned}$

Un tableau des valeurs de $2^{n-1}$ et $n+1$ (sur la calculatrice par exemple) montre que $n+1$ croît bien moins vite que $2^{n-1}$, ce qui signifie que $n+1\neq2^{n-1}$ pour $n\geqslant4$.

Ainsi, il n'existe qu'une valeur de $n$ pour laquelle $2^{n-1}=n+1$, donc pour laquelle $p(A)\times p(B)=p(A\cap B)$, donc pour laquelle $A$ et $B$ sont indépendants.

\begin{Remarque}
on dit que $n+1$ a une croissance \textit{linéaire} alors que $2^{n-1}$ a une croissance \textit{exponentielle}.
\end{Remarque}
\end{questions}
