\begin{questions}
\item On sait que $p(F) + p(\Moy{F}) = 1$ par la loi des contraires.

On sait par ailleurs que $p(F) = \dfrac{9}{10}$. Donc:
    \[ p(\Moy{F}) = 1-\dfrac{9}{10} = \dfrac{1}{10} = 0,1. \]

\item On représente sous forme d'un arbre pondéré, les événements en jeu et les probabilités données directement par l'énoncé.\\
On note que $p_F(T) = 1$ car, si l'appareil est bon, il passe toujours le test avec succès.
    \begin{center}
    \includegraphics{296_7_fig_8}
    \end{center}
        \newpage
        \begin{questions}
        \item Un appareil défectueux ($\Moy{F}$) passe le test avec succès ($T$) avec une probabilité $\dfrac{1}{11}$. On peut donc écrire :
            \[ p_{\,\Moy{F}}(T) = \dfrac{1}{11}. \]
        Utilisons maintenant les probabilités conditionnelles.

        On cherche $p(T\cap \Moy{F})$ en fonction de $p_{\Moy{F}}(T)$.

        On va donc utiliser la formule des probabilités conditionnelles :
            \[ p(T\cap \Moy{F}) = \underbrace{p(\Moy{F})}_{\frac{1}{10}}\times \underbrace{p_{\Moy{F}}(T)}_{\frac{1}{11}} = \dfrac{1}{10\times 11} = \dfrac{1}{110}. \]
        De la même façon :
            \[ p(T\cap F) = \underbrace{p(F)}_{\frac{9}{10}}\times \underbrace{p_F(T)}_{1} = \frac{9}{10}. \]

        \item Réaliser $T$ s'obtient en réalisant ou bien $T \cap F$ ou bien $T\cap \Moy{F}$. On utilise ici la formule des probabilités totales :
            \begin{align*}
                    p(T) & = p(T\cap F) + p(T\cap \Moy{F})\\
                    & = \dfrac{9}{10} + \dfrac{1}{110}\\
                    & = \dfrac{9\times 11 + 1}{110}\\
                    & = \dfrac{100}{110}\\
                    & = \dfrac{10}{11}.
            \end{align*}
        \item On demande $p_T( F)$
        On utilise la définition d'une probabilité conditionnelle :\enlargethispage*{2em}
            \[ p_T(F) = \dfrac{p(T\cap F)}{ p(T)} = \dfrac{\frac{9}{10}}{\frac{10}{11}} = \dfrac{9\times 11}{10\times10} = \dfrac{99}{100}. \]
        Un appareil ayant passé le test avec succès a donc 99\,\% de chances d'être bon.

        \end{questions}
\end{questions}
