Probabilités

D {e_{1} I e_{2} I … I e_{n}} est l’univers constitué de n éventualités, A et B sont deux événements.

• Probabilité d’un événement

p▷ ◁ D 1 p▷∅◁ D 0 p( N A) D 1 − p▷A◁

p▷A ∪ B◁ D p▷A◁ C p▷B◁ − p▷A ∩ B◁ A ∩ B D ∅ ⇒ A et B incompatibles ⇒ p▷A ∪ B◁ D p▷A◁ C p▷B◁

• Loi de probabilité

À chaque éventualité e_{i}, on associe une probabilité p_{i}.

Éventualités

e_{1}

e_{2}

⋯

e_{n}

Probabilités

p_{1}

p_{2}

⋯

p_{n}

On doit avoir : p_{1} C p_{2} C ⋯C p_{n} D 1. S’il y a équiprobabilité : p_{i} D \frac{1}{n}.

• Variable aléatoire X D {x_{1} I x_{2} I … I x_{n}} est une variable aléatoire. On note p_{i} D p▷X D x_{i}◁.

Espérance : E▷X◁ D x_{1}p_{1} C x_{2}p_{2} C ⋯C x_{n}p_{n}

Variance : V ▷X◁D (x_{1} − E▷X◁)^{2}p_{1} C (x_{2} − E▷X◁)^{2}p_{2} C ⋯C (x_{n} − E▷X◁)^{2}p_{n}

D E(X^{2}) − [E▷X◁]^{2} (formule de König-Huygens)
Écart-type : σ▷X◁ D \sqrt{V ▷X◁}

Écritures avec le symbole « sigma » :

E▷X◁ D ∑_{iD1}^{n} x_{i}p_{i} I V ▷X◁ D ∑_{iD1}^{n} (x_{i} − E▷X◁)^{2}p_{i} D ∑_{iD1}^{n} x_{i}^{2}p_{i} − ( ∑_{iD1}^{n} x_{i}p_{i}) ^{2}

Propriétés : pour a ∈ ℝ et b ∈ ℝ, \begin{matrix}E▷aX C b◁ & D aE▷X◁ C b \\ V ▷aX C b◁ & D a^{2}V ▷X◁ \\ σ▷aX C b◁ & D |a|σ▷X◁. \end{matrix}

Jeu équitable : E▷G◁ D 0, où G est la variable aléatoire représentant les gains possibles du jeu.

• Probabilités conditionnelles Probabilité de B sachant A : P_{A}▷B◁ D \frac{P ▷A ∩ B◁}{P ▷A◁}

A et B indépendants ⟺ P_{A}▷B◁ D P ▷B◁
⟺ P_{B}▷A◁ D P ▷A◁
⟺ P ▷A ∩ B◁ D P ▷A◁ × P ▷B◁

• Formule des probabilités totales

Le second degré

f ▷x◁ D ax^{2} C bx C c, avec a D̸ 0. Discriminant : 1 D b^{2} − 4ac.

Forme canonique : f ▷x◁ D a▷x − α◁^{2} C β, avec α D −\frac{b}{2a} et β D −\frac{1}{4a}.

• Types de paraboles (pour a > 0)

• Solutions de l’équation ax^{2} C bx C c D 0

1 > 0  1 D 0  1 < 0

x_{1} D \frac{−b − \sqrt{1}}{2a} et x_{2} D \frac{−b C \sqrt{1}}{2a} x_{0} D −\frac{b}{2a} Pas de solution

• Factorisation de ▷ax^{2} C bx C c◁

1 > 0 1 D 0 1 < 0

a▷x − x_{1}◁▷x − x_{2}◁ a▷x − x_{0}◁^{2} Ne se factorise pas

• Signe de f ▷x◁

1 > 0  1 D 0  1 < 0

La fonction valeur absolue

|x| D x si x > 0 |x| D −x si x < 0 x ↦ |x| n’est pas dérivable en 0.

La fonction exponentielle

(e^{x})′D e^{x} I (e^{kx})′D ke^{kx} x ↦ e^{x} est strictement croissante sur ℝ. e^{0} D 1; e^{1} D e ▷≈ 2, 718◁; e^{\frac{1}{2}} D \sqrt{e}

Pour x ∈ ℝ, y ∈ ℝ, n ∈ ℕ :

e^{xCy} D e^{x} × e^{y}  e^{nx} D (e^{x})^{n}
e^{x−y} D \frac{e^{x}}{e^{y}}  e^{−x} D \frac{1}{e^{x}}

x > y ⟺ e^{x} > e^{y} I x D y ⟺ e^{x} D e^{y}

Dérivation

• Nombre dérivé Soient a ∈ ℝ et h ∈ ℝ \ {0}. f est dérivable en a ⟺ \frac{f ▷a C h◁ − f ▷a◁}{h} tend vers λ ∈ ℝ quand h tend vers 0.

λ D f′▷a◁ est le nombre dérivé de f en a.

• Équation de la tangente f′▷a◁ est le coefficient directeur de la tangente T à C_{f} au point M(a I f ▷a◁).

Équation de T : y D f′▷a◁▷x − a◁ C f ▷a◁

• Dérivées usuelles

f ▷x◁  k réel  x  x^{2}  x^{n}, n ∈ ℕ^{∗}  \frac{1}{x}  \sqrt{x}
f′▷x◁  0  1  2x  nx^{n−1}  −\frac{1}{x^{2}}  \frac{1}{2\sqrt{x}}

Domaine de

dérivabilité

ℝ

ℝ

ℝ

ℝ

ℝ \ {0}

U0 I C∞T

• Opérations sur les dérivées Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle, et k ∈ ℝ.

Fonction ku u C v  uv  \frac{1}{u}  \frac{u}{v}  f ▷ax C b◁

Fonction dérivée ku′ u′C v′ u′v C uv′ −\frac{u′}{u^{2}} \frac{u′v − uv′}{v^{2}} a×f′▷ax C b◁

• Signe de la dérivée et sens de variation Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

Pour tout x ∈ I  f′▷x◁ > 0  f′▷x◁ < 0  f′▷x◁ D 0

Sens de variation de f f est strictement croissante sur I f est strictement décroissante sur I

f est

constante sur I

• Extremum local Soient a ∈ ℝ et b ∈ ℝ, avec a < b, et f une fonction dérivable sur Ua I bT.

f admet un extremum local en x_{0} ∈ Ua I bT ⟺ \{ \begin{matrix}f′▷x_{0}◁ D 0 \\ f′▷x◁ change de signe en x_{0} \end{matrix}

Suites

• Définition Une suite est une fonction dont la variable est entière. Notations possibles d’une suite : (u▷n◁) ou ▷u_{n}◁.

• Modes de génération

Mode  Notation  Exemple
Explicite  u_{n} D f ▷n◁ u_{n} D n^{2}, avec f ▷x◁ D x^{2}

Relation de récurrence u_{nC1} D f ▷u_{n}◁ u_{nC1} D u_{n}^{2}, avec f ▷x◁ D x^{2}

• Sens de variation d’une suite Si, pour tout n ∈ ℕ, u_{nC1} − u_{n} ⩾ 0 , alors la suite est croissante. u_{nC1} − u_{n} ⩽ 0 , alors la suite est décroissante.

Si la suite est définie de façon explicite sur ℕ par u_{n} D f ▷n◁, où f est une fonction monotone sur T0 I C∞T, alors la suite ▷u_{n}◁ a le même sens de variation que f.

• Suite arithmétique de raison r et de premier terme u_{0}

Pour n ∈ ℕ : \begin{matrix}u_{nC1} & D u_{n} C r \\ u_{n} D u_{0} C nr \\ u_{n} & D u_{p} C ▷n − p◁r, ∀p ∈ ℕ \end{matrix}

r > 0  r < 0  r D 0
la suite est croissante  la suite est décroissante  la suite est constante

Somme des n premiers entiers :

1 C 2 C 3 C ⋯C n D \frac{n▷n C 1◁}{2}.

Somme des n C 1 premiers termes :

u_{0} C u_{1} C ⋯C u_{n} D ▷n C 1◁\frac{u_{0} C u_{n}}{2} .

• Suite géométrique de raison q et de premier terme u_{0}

Pour n ∈ ℕ : \begin{matrix}u_{nC1} & D qu_{n} \\ u_{n} D u_{0} × q^{n} \\ u_{n} & D u_{p} × q^{n−p} , ∀p ∈ ℕ \end{matrix}

Sens de variation lorsque u_{0} > 0 :

q > 1  0 < q < 1  q D 1
la suite est croissante  la suite est décroissante  la suite est constante

Somme des puissances positives d’un réel q D̸ 1 :

1 C q C q^{2} C ⋯C q^{n} D \frac{1 − q^{nC1}}{1 − q} .

Somme des n C 1 premiers termes (q D̸ 1) :

u_{0} C u_{1} C ⋯C u_{n} D u_{0} \frac{1 − q^{nC1}}{1 − q} .

• Capital C_{n} placé à taux fixe t % ▷C_{n}◁ est une suite géométrique de raison 1 C \frac{t}{100} et :

C_{n} D C_{0} × ( 1 C \frac{t}{100}) ^{n} .

Trigonométrie

P est un plan muni du repère orthonormé direct (O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}).

• Cosinus et sinus d’un nombre réel Soit M un point du cercle trigonométrique tel que (\overrightarrow{OI} I \overrightarrow{OM}) D x. cosx : abscisse de M; sinx : ordonnée de M. −1 ⩽ cosx ⩽ 1 −1 ⩽ sinx ⩽ 1

cos^{2} x C sin^{2} x D 1

1 radian : angle tel que IM D OI.

Valeurs remarquables :

\begin{matrix}x & 0 & \frac{π}{6} & \frac{π}{4} & \frac{π}{3} & \frac{π}{2} & π \\ cosx & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & −1 \\ sinx & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & 0 \end{matrix}

Propriétés de symétrie :

α  −x  x C π  π − x
cosα  cosx  − cosx  − cosx
sinα  − sinx  − sinx  sinx

• Fonctions trigonométriques

Les fonctions x ↦ sinx et x ↦ cosx sont 2π-périodiques :

∀x ∈ ℝ, \{ \begin{matrix}cos▷x C 2π◁ D cosx \\ sin▷x C 2π◁ D sinx \end{matrix}

La fonction x ↦ sinx est impaire :

sin▷−x◁ D − sin▷x◁.

La fonction x ↦ cosx est paire :

cos▷−x◁ D cos▷x◁.

Dérivées : (sinx)′D cosx (cosx)′D − sinx.

Produit scalaire

O, A et B sont trois points distincts du plan muni d’un repère orthonormé. E uD \overrightarrow{OA}, avec E u▷x I y◁; E vD \overrightarrow{OB}, avec E v▷x′I y′◁.

• Différentes expressions du produit scalaire

E u· E vD \overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} D ∥\overrightarrow{OA}∥ × ∥\overrightarrow{OB}∥ × cos(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})

E u· E vD xx′C yy′ ; \begin{matrix}E u· E v & D \frac{1}{2}(∥E uC E v∥^{2} − ∥E u∥^{2} − ∥E v∥^{2}) \\ E u· E v & D \frac{1}{4}(∥E uC E v∥^{2} − ∥E u− E v∥^{2}) \\ E u· E v & D \frac{1}{4}(∥E u∥^{2} C ∥E v∥^{2} − ∥E u− E v∥^{2}) \end{matrix}

Soit H le projeté orthogonal de B sur (OA).

E u· E vD \overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} D \overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OH}
E u· E vD \{ \begin{matrix}OA × OH & si \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OH} ont le même sens \\ −OA × OH & si \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OH} ont des sens opposés \end{matrix}

• Propriétés E u· E uD ∥E u∥^{2} D x^{2} C y^{2} ∥E u∥ D \sqrt{x^{2} C y^{2}} E u· E vD 0 ⟺ E u⊥ E v Équation du cercle de centre ▷a I b◁ et de rayon R : ▷x − a◁^{2} C ▷y − b◁^{2} D R^{2}

Théorème de la médiane :

CA^{2} C CB^{2} D 2CI^{2} C \frac{1}{2}AB^{2}

Théorème d’Al-Kashi :

BC^{2} D AB^{2} C AC^{2} − 2AB × AC cosα Pour tout point M du plan, \overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB} D MI^{2} − \frac{1}{4}AB^{2} MA^{2} C MB^{2} C MC^{2} minimal pour M D G (centre de gravité de ABC).

Vecteur normal, vecteur directeur

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, pour E uD̸ E 0et E vD̸ E 0:

E u\binom{x}{y} et E v\binom{x′}{y′} \{ \begin{matrix}colinéaires ⟺ xy′− x′y D 0 \\ orthogonaux ⟺ xx′C yy′D 0 \end{matrix}

E uD̸ E 0vecteur directeur de (AB) ⟺ E ucolinéaire à \overrightarrow{AB}

E uD̸ E 0vecteur normal à (AB) ⟺ E u· \overrightarrow{AB} D 0 Soient a et b deux nombres réels non simultanément nuls et D une droite.

D a pour équation ax C by C c D 0 ⟺ \{ \begin{matrix}E u\binom{−b}{a} est un vecteur directeur de D \\ E n\binom{a}{b} est un vecteur normal à D \end{matrix}