\begin{questions}
\item
La force pressante exercée par l'air ambiant sur le fond de la bouteille est égale
à la pression ambiante multipliée par la surface du fond, soit :

\[F_{\rm amb}=P_{\rm amb}\times \pi r^2.\]
L'application numérique donne :
\[F_{\rm amb}=10^5\times 3{,}14\times (5\times 10^{-2})^2\approx 790\mbox{~N}.\]
Notons que nous avons tout d'abord converti la valeur de la pression en pascals.

\item La force pressante due à l'oxygène de la bouteille s'évalue par une expression
analogue. On obtient :
\[F_{\rm oxy}=6\times 10^5\times 3{,}14\times (5\times 10^{-2})^2\approx 4{,}71\times 10^3\mbox{~N}.\]
\item
Le bilan des  forces pressantes sur  le  fond de la bouteille  lorsque
celle-ci  est hors   de l'eau peut   s'obtenir à  partir  de la figure
suivante :

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{086_235_09e_neplongeesolun}
\figcaption{Bilan des forces pressantes sur le fond de la bouteille.}
\end{center}
}

La force résultante des forces pressantes est dirigée vers l'extérieur de la bouteille
et a pour valeur :
$F=F_{\rm oxy}-F_{\rm amb}=4\,700-790\approx 3,9\cdot10^3$~N.

\item
Calculons    la   pression  $p'$    de  l'eau   à  la   profondeur
$h=50$~mètres.

En utilisant la relation fondamentale de l'hydrostatique,
nous avons :
\[p'-p=\rho\times g\times h\;,\]
ce qui nous donne :
\[p'=p+\rho\times g\times h=10^5+10^3\times 50\times 10=6\times 10^5\mbox{~Pa}=6,0\mbox{~bar}.\]

\begin{Remarque}
  il peut être utile de savoir que la pression de l'eau augmente d'un bar chaque fois que l'on descend de $10$~m. Ici elle augmente donc de $5$~bar et passe de $1$ à $6$~bar.
\end{Remarque}

La force pressante $F'$  due à l'eau sur le  fond de la bouteille  s'évalue comme précédemment.

Puisque la   pression  est  de $6\times 10^5$~Pa,  nous
retrouvons le résultat de la deuxième question, soit :
\[F'=6\times 10^5\times 3{,}14\times (5\times 10^{-2})^2\approx 4{,}71\times 10^3\mbox{~N}.\]
\item
On voit que cette force pressante et celle de l'oxygène contenu dans la
bouteille s'annulent. La force résultante est donc de valeur nulle.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{087_236_09e_neplongeesoldeux}
\figcaption{Les forces pressantes sur le fond de la bouteille s'annulent.}
\end{center}
}
\item Un calcul similaire à celui de la question précédente indique
  que la  pression de l'eau vaut $p''=1{,}1\times 10^6\mbox{~Pa}=11\mbox{~bar}$. La force
pressante de l'eau est donc :
\[F''=1{,}1\times 10^6\times 3{,}14\times (5\times 10^{-2})^2\approx 8{,}64\times 10^3\mbox{~N}.\]
Le bilan des forces pressantes est cette fois dirigé vers l'intérieur de la bouteille
et vaut : $8\,600-4\,700=3\,900$~N.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{087_236_09e_neplongeesoltrois}
\figcaption{La force pressante exercée par l'eau est supérieure à la force pressante exercée par l'oxygène
contenu dans la bouteille.}
\end{center}
}
\end{questions}
