  \begin{questions}
  \item On applique la relation fondamentale de l'hydrostatique entre un
    point~B situé à la surface de l'eau de la cuve, et un point~A à la
    surface de l'eau dans l'éprouvette. On a ainsi:
    \[P_B-P_A=\rho \times g \times h.\]

    Le point~A est en contact avec l'air de l'éprouvette. Il se trouve
    donc à la pression $P$ avec $P_A=P$. De la même manière, le point~B est en
    contact avec l'atmosphère et se trouve donc à la pression
    atmosphérique: \[ P_B=P_\mathrm{atm}. \]

    Nous avons donc en définitive:
    \[P=P_\mathrm{atm}-\rho \times g \times h.\]

    \Par

    \textit{Application numérique:}
    \[P=\numprint{101325}-1{,}0\times 10^3\times 9{,}8 \times 0{,}15=9{,}99\times10^4~\mbox{~Pa}.\]

    La pression atmosphérique est donnée avec six chiffres significatifs,
    mais on n'a que deux chiffres significatifs pour les autres données de
    l'énoncé,
    donc la différence $\rho \times g \times h$ est précise jusqu'au chiffre des
    centaines. On donne donc un résultat précis à la centaine de pascals
    près, c'est-à-dire avec trois chiffres significatifs.


  \item Les forces exercées sur le système \og éprouvette \fg sont
    représentées sur la figure ci-dessous.

    \Par

    \begin{center}
      \includegraphics{096_254_09e_2013_forcetube2}
    \end{center}

   \Par

    Ces forces sont:

    \begin{itemize}
    \item Le poids $\vec P$ de l'éprouvette, vertical et dirigé vers le bas.

    \item La force $\vec F$ exercée par l'opérateur, que nous décrirons plus en détail après.

    \item La force pressante $\vec F_1$ exercée par l'air du laboratoire sur le fond de l'éprouvette. Celle-ci est verticale et dirigée vers le bas.

    \item La force pressante $\vec F_2$ exercée par l'air de l'éprouvette sur le fond de celle-ci. Elle est verticale et dirigée vers le haut.

    \item Les forces pressantes exercées sur le corps principale de
      l'éprouvette. Celles-ci ne sont pas représentées sur la figure, et
      elles se compensent par symétrie: leur somme vectorielle est nulle.
    \end{itemize}


  \item Le système étant au repos, la somme vectorielle des forces qui
    s'exercent sur lui est nulle. Puisque les forces $\vec P$, $\vec F_1$ et $\vec F_2$ sont verticales, $\vec F$ est nécessairement verticale. En outre, puisque $P< P_\mathrm{atm}$, nous voyons que
$\vec F_1+\vec F_2$ est dirigée vers le bas, donc \textit{a fortiori}
$\vec P+\vec F_1+\vec F_2$ est aussi dirigée vers le bas. On en
déduit, ce qui est assez intuitif, que $\vec F$ est dirigée vers le
haut. En projetant sur un axe vertical,
    nous pouvons écrire la relation suivante sur les grandeurs des forces:
\[F+F_2-P-F_1=0\mbox{~~~soit~:~~~}F=P+F_1-F_2.\]

Le poids $P$ de l'éprouvette est donné par $P=mg$. La force pressante $F_1$ est donnée par le produit de la pression atmosphérique et de la surface du fond de l'éprouvette:
\[F_1=P_\mathrm{atm}\times\pi r^2.\]

De la même manière nous avons pour $F_2$:
\[F_2=P\times \pi r^2.\]

En substituant ces valeurs dans l'expression de $F$, nous avons:
\[F=mg+P_\mathrm{atm}\times\pi r^2-P\times \pi r^2=mg+\pi r^2(P_\mathrm{atm}-P).\]

On peut substituer la parenthèse de cette dernière expression parce que nous avons obtenu à la première question:
\[F=mg+\pi r^2\rho \times g \times h=(m+\pi r^2 h \rho) g.\]

Nous notons ici que le deuxième terme de la parenthèse est égal au
volume du cylindre d'eau dans l'éprouvette (base $\pi r^2$ et hauteur
$h$) multiplié par la masse volumique de l'eau: c'est la masse de
l'eau contenue dans l'éprouvette.

\Par

\textit{Application numérique:}
\begin{eqnarray*}
F&=&[0{,}12+\pi\times (8\times 10^{-3})^2\times 0{,}15\times 10^3]\times 9{,}8\\
&=&1{,}5\mbox{~N}.
\end{eqnarray*}
L'opérateur doit exercer une force de $1{,}5$~N sur l'éprouvette.
  \end{questions}
