\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item
 Soit l'équation $u^2 -6u -16 = 0$. $\Delta= 36 + 64 = 100$.

L'équation admet deux solutions : $8$ et $-2$.

\item On considère l'équation
 $(\lvert x\rvert - 2)^2 = 2 (\lvert x\rvert + 10)$.
\par
On pose $u = \lvert x\rvert$.
\par
L'équation précédente s'écrit alors : $(u -2)^2 = 2 (u + 10)$, soit en effectuant et en réduisant :
$u^2 -6u -16 = 0$.
\par
D'après la question précédente, l'équation $u^2 -6u -16 = 0$ admet deux solutions : $8$ et $-2$.
\par
On cherche alors $x$ tel que $\lvert x\rvert = 8$ ou $\lvert x\rvert = - 2$.
Or, il n'existe aucun réel $x$ tel que $\lvert x\rvert = - 2$, tandis que
l'équation $\lvert x\rvert = 8$  admet deux solutions : $8$ et $-8$.
\par
L'équation   $(\lvert x\rvert - 2)^2 = 2 (\lvert x\rvert + 10)$ admet donc deux solutions : $8$ et $-8$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item
L'équation $u^2 -5u -6 = 0$ admet comme solution évidente\linebreak $x_1=-1$.

Or, le produit des racines vaut $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ donc $-x_2=\dfrac{-6}{1}$, soit $x_2=6$.

Les solutions sont donc $-1$ et 6.

\newpage

\item On rappelle que l'équation $\sqrt{a} = b$ équivaut à $b\geq 0$ et $a = b^2$.
\par
Donc l'équation $\sqrt{15 -x} = x -3$ équivaut à :
\[x\geq 3\quad\text{et}\quad 15 -x = x^2 -6x + 9\text{ soit } x^2 -5x -6 = 0\,.\]
D'après la question précédente, cette équation admet  deux racines : $6$ et $-1$. Seule $6$ vérifie la  condition $x \geq 3$.
Il en résulte que\linebreak l'équation proposée admet  pour unique solution : $6$.
\end{questions}
\item\begin{questions}
\item
 L'\'equation $u^2 -7u + 6 = 0$ équivaut successivement à :
\begin{gather*}
\left(u -\frac{7}{2}\right)^2 -\frac{49}{4} + 6 = 0\\
\left(u -\frac{7}{2}\right)^2 -\frac{25}{4} = 0\\
\left(u -\frac{7}{2} -\frac{5}{2}\right)
 \left(u -\frac{7}{2} + \frac{5}{2}\right) = 0\\
(u -6) ( u -1) = 0\,.
\end{gather*}
L'équation admet deux solutions : $6$ et $1$.

\item Soit $x$ la largeur de la croix, exprimée en mètres ($0<x<3$).
L'aire du drapeau est $12~\textup{m}^2$, l'aire de la croix est $3x + 4x -x^2$.
L'aire de la croix blanche est égale à l'aire rouge si et seulement si :
 \[                7x -x^2 = 12 -( 7x -x^2)\,,\]
soit $2x^2 -14x + 12 = 0$.
\par
En divisant les deux membres par $2$, on obtient :
$x^2 -7x + 6 = 0$.
\par
D'après la question précédente, cette équation admet deux\linebreak solutions : $6$ et $1$. Seule la valeur $1$ convient.
\par
La largeur de la croix blanche est donc égale à 1 mètre.
\end{questions}\end{questions}
