\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Sachant que la somme des probabilités vaut 1, avec les trois indications de l'énoncé on obtient les quatre équations suivantes :
\[\left\lbrace
\begin{array}{l}
p_2+p_4+p_5+p_7=1\\
p_2=p_5\\
p_5=2p_4\\
p_7=3p_2\\
\end{array}
\right.
\]

On trouve donc :
\[\left\lbrace
\begin{array}{l}
p_5=2p_4\\
p_2=2p_4\\
p_7=6p_4\\
2p_4+p_4+2p_4+6p_4=1
\end{array}
\right.
\]

Par conséquent, on a bien $p_4=\dfrac{1}{11}$.
\item On en déduit les probabilités d'obtenir chaque valeur:\\
$p(X=4)=p_4=\dfrac{1}{11}$.\\
$p(X=2)=P(X=5)=2p_4=\dfrac{2}{11}$.\\
$p(X=7)=6p_4=\dfrac{6}{11}$.


On peut rassembler ces résultats dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
$x_i$&2&4&5&7\\
\hline
$p_i$&$\dfrac{2}{11}$&$\dfrac{1}{11}$&$\dfrac{2}{11}$&$\dfrac{6}{11}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $E(X)=2\times\dfrac{2}{11}+4\times\dfrac{1}{11}+5\times\dfrac{2}{11}+7\times\dfrac{6}{11}=\dfrac{60}{11}$.
\end{questions}
\item $p(A)=p(X=2)+p(X=4)=\dfrac{3}{11}$.\\
$p(B)=1-p(X=2)=\dfrac{9}{11}$.
\item $\overline{A}$ est l'événement : \og on obtient une face avec un numéro impair \fg, donc  $p(\overline{A})=1-p(A)=\dfrac{8}{11}$.\\
$A\cap B$ est l'événement : \og on obtient une face avec un numéro pair\linebreak supérieur à 3 \fg, donc $p(A\cap B)=p(X=4)=\dfrac{1}{11}.$\\
$A\cup B$ est l'événement : \og on obtient un numéro pair ou un numéro plus grand que 3 \fg. On constate que toutes les issues conviennent, donc $p(A\cup B)=1$.
\end{questions}
