\begin{questions}
\item Le tableau ci-dessous permettra de répondre à toutes les questions :

\Par

\hspace*{-2em}
\begin{tabular}{|C|*6{Zc|}}
\hline\tabulartitle
\backslashbox{2\ieme{} boule}{1\iere{} boule} & $V_1$ & $V_2$ & $V_3$ & $R_1$ & $R_2$ & $N_1$\\
\hline
$V_1$ & $V_1V_1$ & $V_1V_2$ & $V_1V_3$ & $V_1R_1$ & $V_1R_2$ & $V_1N_1$\\
\hline
$V_2$ & $V_1V_2$ & $V_2V_2$ & $V_3V_2$ & $R_1V_2$ & $R_2V_2$ & $N_1V_2$\\
\hline
$V_3$ & $V_1V_3$ & $V_2V_3$ & $V_3V_3$ & $R_1V_3$ & $R_2V_3$ & $N_1V_3$\\
\hline
$R_1$ & $V_1R_1$ & $V_2R_1$ & $V_3R_1$ & $R_1R_1$  & $R_2R_1$ & $N_1R_1$\\
\hline
$R_2$ & $V_1R_2$ & $V_2R_2$ & $V_3R_2$ & $R_1R_2$ & $R_2R_2$ & $N_1R_2$\\
\hline
$N_1$ & $V_1N_1$ & $V_2N_1$ & $V_3N_1$ & $R_1N_1$ & $R_2N_1$ & $N_1N_1$\\
\hline
\end{tabular}

\Par

Il y a donc 36 issues possibles.

\item
\begin{questions}
\item $p(A)=\frac{22}{36}=\frac{11}{18}$. Il suffit pour trouver ce résultat de compter les issues où ne figurent pas deux fois la même couleur.

$p(B)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$. En effet il y a trois lignes pour lesquelles la deuxième boule porte le numéro 1.

\Par

$p(C) =\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$. Là encore on compte dans le tableau précédent les cases où les deux boules portent le même numéro.

\item \enlargethispage*{5em}
\begin{itemize}
\item $A\cap C$ : \og les 2 boules tirées sont de couleurs différentes et portent le même numéro \fg.
\[
P(A\cap C)=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}.
\]

\item $A\cup C$ : \og les 2 boules tirées sont de couleurs différentes ou portent le même numéro \fg.
\begin{align*}
P(A\cup C)& =P(A)+P(C)-P(A\cap C)\\
& =\frac{11}{18}+\frac{14}{36}-\frac{2}{9}\\
& =\frac{28}{36}=\frac{7}{9} \text{ (vérifiable dans le tableau)}.
\end{align*}

\item $\overline{B}$ : \og la 2\ieme{} boule porte le numéro 2 ou 3 \fg.
\[
P(\overline{B})=1-P(B)=\frac{1}{2}.
\]

\item $\overline{A}\cup B$ : \og les 2 boules tirées ont la même couleur ou la deuxième porte le numéro 1 \fg.
\[
P(\overline{A}\cup B)=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}.
\]
\end{itemize}
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item On peut avoir une somme égale à 2, 3, 4, 5 ou 6.
\item En utilisant le tableau ci-dessus, on obtient la loi de probabilité suivante :

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*5{Zc|}}
\hline
$x_i$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\frac{9}{36}$ & $\frac{12}{36}$ & $\frac{10}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{1}{36}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $E(X)=2\times\frac{9}{36}+3\times\frac{12}{36}+4\times\frac{10}{36}+5\times\frac{4}{36}+6\times\frac{1}{36}=\frac{10}{3}$.

\medskip

$\begin{aligned}[t]
V(X) & =\frac{9}{36}\left(2-\frac{10}{3}\right)^2+ \frac{12}{36}\left(3-\frac{10}{3}\right)^2 + \frac{10}{36}\left(4-\frac{10}{3}\right)^2 \\
& \phantom{=} + \frac{4}{36}\left(5-\frac{10}{3}\right)^2 + \frac{1}{36}\left(6-\frac{10}{3}\right)^2\\
& = \frac{10}{9}.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{questions}
