\begin{questions}
\item Pour commencer, on va calculer le gain obtenu pour chaque face.

\begin{tabular}{|>{\fontsize{7}{9}\selectfont\arraybackslash}M{8mm}|*{12}{>{\centering\arraybackslash}m{3mm}|}}
\hline
Propriété&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
\hline
Pair&&2&&2&&2&&2&&2&&2\\
\hline
Multiple de 3&&&3&&&3&&&3&&&3\\
\hline
Supérieur ou égal à 10&&&&&&&&&&4&4&4\\
\hline
Autres cas&$-5$&&&&$-5$&&$-5$&&&&&\\
\hline
Total&$-5$&2&3&2&$-5$&5&$-5$&2&3&6&4&9\\
\hline
\end{tabular}

Comme le dé est équilibré, chaque issue a la même probabilité de se réaliser.

\Par

On obtient ainsi la loi de probabilité des gains page suivante.

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*7{Zc|}}
\hline
Gains&$-5$&2&3&4&5&6&9\\
\hline
$P(X=x_i)$&$\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac{1}{12}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\item $\begin{aligned}[t]
E(X) & = \dfrac{(-5)\times3+2\times 3+3 \times 2 +4\times 1+5\times 1+6\times 1+9\times 1}{12}\\
E(X) & =\dfrac{21}{12}\\
E(X) & =\dfrac{7}{4}\\
E(X) & =1,75.
\end{aligned}$

Comme l'espérance est positive, le jeu est favorable au joueur ~; il n'est donc pas équitable.

\item En appelant S le nombre de points à prendre au joueur quand il perd, l'espérance devient :

$\begin{aligned}[t]
E(X) & = \dfrac{(-S)\times3+2\times 3+3 \times 2 +4\times 1+5\times 1+6\times 1+9\times 1}{12}\\
E(X) & =\dfrac{-3S+36}{12}.
\end{aligned}$

\Par


L'espérance est donc nulle pour $-3S+36=0$, c'est-à-dire $S=12$.

\Par

Il faut donc prendre 12 points au joueur quand il perd pour que le jeu soit équitable.
\end{questions}
