\begin{questions}
\item Il y a en tout $n+3+1=n+4$ boules dans le sac.

\item La loi de probabilité de $X_n$ est:

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*3{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X_n$ & $-1$ & 1 & 9 \\
\hline
$p(X_n=x_i)$ & $\dfrac{n}{n+4}$ & $\dfrac{3}{n+4}$ & $\dfrac{1}{n+4}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

En effet, il y a une mise de départ : 1 \euro. Donc quand le joueur gagne 2~\euro, au final, il ne gagne que 1 \euro. Il en est de même pour les autres valeurs de $X_n$.

\item $\begin{aligned}[t]
E(X_n) & = (-1)\times\dfrac{n}{n+4} + 1\times\dfrac{3}{n+4} + 9\times\dfrac{1}{n+4}\\
& = \dfrac{12-n}{n+4}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
E(X_n)<0 & \iff \dfrac{12-n}{n+4} < 0\\
& \iff 12-n<0\text{ car }n>0\text{ donc }n+4>0\\
& \iff n > 12.
\end{aligned}$

Il faut donc qu'il y ait au minimum 13 boules noires pour que l'espérance mathématique de $X_n$ soit strictement négative.
\end{questions}
