\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $X$ peut prendre les valeurs $-3$ et 2.
\item Le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité de X :
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*2{Zc|}}
\hline
$x_i$ & $-3$ & 2\\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\frac{n}{10+n}$ & $\frac{10}{10+n}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item $E(X)=\frac{-3n+20}{10+n}$.
\item Le jeu est favorable au joueur si $E(X)>0$. Or, $n$ est un nombre\linebreak positif, donc le jeu est favorable au joueur si et seulement si \linebreak $-3n + 20 > 0 $.
\[-3n + 20 > 0 \Leftrightarrow n<\frac{20}{3} \]
$n$ étant un nombre entier, le jeu est favorable au joueur si et seulement si $n$ est au plus égal à 6. Comme $n$ est supérieur ou égal à 2, les seules valeurs pour lesquelles le jeu est favorable au joueur sont 2, 3 , 4 , 5 et 6.
\end{questions}

\item \begin{questions}
\item Le joueur peut perdre les deux parties, auquel cas son gain algébrique est $-6$. \\
Il peut gagner une partie et perdre l'autre, auquel cas son gain algébrique est $-1$. \\
Il peut aussi gagner les deux parties, auquel cas son gain algébrique est 4.\\
Les trois valeurs possibles pour $X$ sont donc $-6$, $-1$ et 4.
\enlargethispage*{5em}

\item L'expérience peut être représentée par l'arbre suivant :
\begin{center}
\includegraphics{335_8_fig_3}
\end{center}
\newpage
Ainsi, on a par exemple :

\[
p(B\cap B)=\frac{10}{n+10}\times\frac{9}{n+9}=\frac{90}{(n+10)(n+9)}.
\]

On obtient donc la loi de probabilité suivante :

\Par

\hspace*{-4em}
\begin{tabular}{|R|*3{Zc|}}
\hline
$x_i$ & $-6$ & $-1$ & 4\\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\frac{n(n-1)}{(n+10)(n+9)}$ & $\frac{20n}{(n+10)(n+9)}$ & $\frac{90}{(n+10)(n+9)}$\\
\hline
\end{tabular}

\item $\begin{aligned}[t]
E(X)&=\frac{-6n(n-1)-20n+360}{(n+10)(n+9)}\\
&=\frac{-6n^2-14n+360}{(n+10)(n+9)}.
\end{aligned}$

\item $n$ étant un entier naturel, le dénominateur de $E(X)$ est positif.

Pour le numérateur, il faut trouver les racines.

$\Delta =  \numprint{8836} = 94^2$. Les deux racines sont donc :

\[ n'=\frac{14-94}{-12}=        \frac{20}{3}\quad\text{et}\quad n''=\frac{14+94}{-12}=-9.\]

Le coefficient de $n^2$ étant négatif, on en déduit que $E(X)$ est positif entre les racines, soit pour $0<n<\frac{20}{3}$, et négatif pour $n >\frac{20}{3}$.\\
Le jeu est donc défavorable au joueur dès que $n$ est supérieur ou égal à 7, comme précédemment.
\end{questions}
\end{questions}
