\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.5){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch02exo09}}}
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Pour que la courbe représentative ${\cal C}$ de la fonction définie par\linebreak $f(x)=\frac{mx+1}{(2-m)x+3}$ admette au point d'abscisse $-1$ une tangente de\linebreak coefficient directeur $-2$, il faut d'abord que $f$ soit définie en $-1$, donc que $(2-m)(-1)+3\neq 0$, c'est-à-dire $m \neq-1$.

$f$ est alors dérivable en $-1$ et on doit avoir $f'(-1) = -2$. La dérivée de $f$ vaut :
\begin{align*}
f'(x) & = \frac{m(2x-mx+3)-(mx+1)(2-m)}{(2x-mx+3)^{2}} \\
&= \frac{2mx-m^{2}x+3m-2mx-2+m^{2}x+m}{(2x-mx+3)^{2}} \\
&= \frac{4m-2}{(2x-mx+3)^{2}}.
\end{align*}
Au point $-1$, on a:
 \[f'(-1) = \frac{4m-2}{(m+1)^{2}}.\]
 Il faut donc avoir : $\begin{aligned}[t]
 \frac{4m-2}{(m+1)^{2}} &= -2 \\
 2-4m &= 2m^{2}+4m+2\\
 2m^{2}+8m& = 0.
 \end{aligned}$

 On obtient alors $m=0$ ou  $m=-4$, qui sont donc les deux solutions\linebreak recherchées : $S = \{-4, 0\}$.
