\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Le nombre $x$ d'objets produits et vendus est un nombre entier.

%\`A l'aide d'un algorithme, on peut calculer toutes les valeurs du bénéfice réalisé $B(x)$ lorsque $x$ parcourt tous les nombres entiers de 1 à 100.

Pour $x$ objets, $x\in[1~;100]$,  on calcule successivement le coût unitaire \texttt{U} donné par l'expression de $U(x)$, le coût total \texttt{C=x*U}, la recette réalisée par leur vente \texttt{R=100*x}, et enfin le bénéfice \texttt{B=R-C}.

Pour chaque valeur de \texttt{x}, on teste la valeur trouvée pour \texttt{B} et on la conserve dans une variable \texttt{M} si elle est plus grande que celle qui y est déjà présente.


On pense aussi à garder de la même façon la valeur de \texttt{x} correspondante.  \enlargethispage*{5em}


\begin{algorithme}{Algorithme}
M $\leftarrow$ 0
S $\leftarrow$ 1
Pour x de 1 à 100
\qquad U $\leftarrow$ 2x-83-900/x
\qquad C $\leftarrow$ x*U
\qquad R $\leftarrow$ 100*x
\qquad B $\leftarrow$ R-C
\qquad Si M$<$B
\qquad\qquad M $\leftarrow$ B
\qquad\qquad S $\leftarrow$ x
\qquad Fin Si
Fin Pour
Afficher S
Afficher M
\end{algorithme}

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.5){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/03-optimEco.py}}}
\vspace*{-5mm}
\begin{listing}{En Python}{03-optimEco.py}\end{listing}

\Par

\item En exécutant l'algorithme précédent, on trouve un bénéfice\linebreak maximal de \numprint{5086}~\euro, obtenus pour $x=46$ objets fabriqués.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item La recette réalisée pour $x$ objets vendus est $R(x)=100x$, et donc, le bénéfice global $B(x)$ réalisé par l'entreprise est donné par:
\begin{align*}
B(x) & =R(x)-xU(x)\\
&=100x-x\left(2x-83-\frac{900}{x}\right)\\
&=-2x^2+183x+900.\\
\end{align*}


\item Pour tout réel $x\in I$, $B'(x)=-4x+183$. On peut alors dresser le tableau de variation de $B$:

\[
\begin{array}{|C|ccccc|}
\hline\tabulartitle
x&1&&\frac{183\strut}{4\strut}&&100\\\hline
B'(x)&&+&0&-&\\\hline
&&&5086,125&&\\
B(x)&&\nearrow&&\searrow&\\
\hline
\end{array}
\]

\Par

\item D'après les variations de $B$, on trouve un bénéfice maximum de \numprint{5086,125}~\euro{} pour $x=45,75$ objets vendus et fabriqués.

On ne retrouve pas exactement le même résultat que précédemment car l'étude des variations de $B$ donne un maximum pour un $x$ réel, et non entier comme dans l'algorithme.

Comme ici le nombre d'objets $x$ est un nombre entier, et que \linebreak  $B(45)=\numprint{5085}$ et $B(46)=\numprint{5086}$, on en déduit que le maximum de \numprint{5086}~\euro{} est obtenu pour $x=46$ objets vendus.
\end{questions}
\end{questions}
