\begin{questions}
\item D'après l'énoncé, l'aire du rectangle $EFGH$ est : $(x-2)(y-3)=150$, soit $y-3=\frac{150}{x-2}$.\\
On a donc bien $y = 3 + \frac{150}{x-2}$.
\item
\begin{questions}
\item Pour que la feuille soit carrée, il faut et il suffit que $x = y$, donc il faut et il suffit que $x = \frac{3x+144}{x-2}$.

On doit donc avoir $x^2 - 2x = 3x + 144$, donc $x^2 - 5x-144 = 0$, ce qui est l'équation proposée.
\item Pour cette équation du second degré, $\Delta = 25 + 4 \times  144 = 601$.\\
Donc il existe a priori deux valeurs de $x$ telles que la feuille soit carrée : $x'=\frac{5-\sqrt{601}}{2}$ et $x''=\frac{5+\sqrt{601}}{2}$.\\
Cependant seule $x"$ est acceptable puisque c'est la seule solution positive de l'équation appartenant à l'intervalle $[5~;22]$.\\
Donc la seule valeur de $x$ pour laquelle la feuille est carrée est $\frac{5+\sqrt{601}}{2}$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
g(x) & = xy\\
&  = x\left(3 + \frac{150}{x-2}\right)\\
& =x\left(\frac{3(x-2)+150}{x-2}\right)\\
& = \frac{3x^2+144x}{x-2}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
g'(x) & = \frac{(6x+144)(x-2)-(3x^2+144x)}{(x-2)^2}\\
& = \frac{6x^2-12x+144x-288-3x^2-144x}{(x-2)^2}\\
& = \frac{3x^2-12x-288}{(x-2)^2}.
\end{aligned}$

$g'(x)$ s'annule si $3x^2-12x-288=0$.\\
$\Delta=\numprint{3600}$. Le trinôme admet donc deux racines : \[ x'=\frac{12-60}{6}=-8 \text{ et } x''=\frac{12+60}{6}=12.\]
Le trinôme est du signe de $a$, donc positif à l'extérieur des racines, et négatif à l'intérieur des racines.
Le dénominateur est toujours positif.
\[ g(5) = 265 \quad;\quad g(12) = 216\quad ;\quad g(22) = 231. \]
On obtient donc le tableau de variation suivant :

\[
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x & 5 & & 12 & & 22\\
\hline
g'(x) &  & - & 0 & + & \\
\hline
 & 265 &  &  & & 231\\
g(x) &  & \searrow &                 & \nearrow  & \\
     &           & &  216        & &          \\
\hline
\end{array}
\]

\begin{methode}
On ne développe jamais le dénominateur d'une fonction dérivée car son écriture sous la forme d'un carré nous permet d'affirmer qu'il est positif.
\end{methode}
\item D'après le tableau de variation, l'aire est minimale pour $x = 12$, et elle est alors égale à $216~\text{cm}^2$.\\
\end{questions}

\item L'aire est supérieure ou égale à 224 si et seulement si :
\begin{align*}
\frac{3x^2+144x}{x-2}\geqslant 224 & \Leftrightarrow 3x^2+144x \geqslant 224(x-2)\\
& \Leftrightarrow 3x^2-80x+448 \geqslant 0.
\end{align*}

$\Delta=\numprint{1024}$. Les racines du trinôme sont donc : $x'=\frac{80-32}{6}=8$ et $x''=\frac{80+32}{6}=\frac{56}{3}$. Le trinôme est du signe de $a$ (donc positif) à l'extérieur des racines.\\
$x$ étant un nombre de l'intervalle $[5~;22]$, l'aire de $MNPQ$ est donc supérieure ou égale à 224 si $x$ est supérieur ou égal à $\frac{56}{3}$, ou si $x$ est inférieur au égal à 8.\\
L'ensemble solution est donc $[5~;8]\cup\left[\frac{56}{3}~;22\right]$.
\end{questions}
