\begin{questions}
\item La fonction $f$ est le produit $u v$, avec :
\[ u(x) = (ax +b) \text{ et } v(x) = \nep^{x}. \]
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $\R$, donc $f$ l'est aussi par produit.
\[
f' = u'v + uv' \Rightarrow f'(x) = a \nep^{x} +(ax +b)\nep^{x} = (ax +a +b)\nep^{x}.
\]

\item D'après ce qui précède, on sait que $ f'(-2) = (-2a+a +b)\nep^{-2} $.

D'après l'énoncé, la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-2$ est\linebreak horizontale, donc son coefficient directeur est nul, c'est-à-dire \mbox{$f'(-2) = 0$}:
\begin{align*}
f'(-2) = 0 & \iff (-2a +a +b)\nep^{-2} = (b-a)\smash[b]{\underbrace{\nep^{-2}}_{\neq\:0}} = 0 \\
        & \iff b-a = 0\\
        & \iff a = b.
\end{align*}
Par ailleurs, $A \in \mathcal{C}$ donc $ f(0) = 1 $ (1 unité en ordonnées prend deux graduations).
\[
f(0) = 1 \iff b\underbrace{\nep^{0}}_{ = \:1} = 1 \iff b = 1.
\]
Finalement, on obtient $ a = b = 1 $ et $f(x) = (x +1)\nep^{x}$.


\item En substituant les valeurs de $a$ et $b$ dans le calcul précédent de $f'(x)$ :
\[
f'(x) = (x +2)\underbrace{\nep^{x}}_{\text{positif}} \ \text{ et } \ f'(x)>0 \iff x +2 > 0 \iff x > -2.
\]
\[
\begin{array}{|C|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
 x & -3 & & -2 & & 1 \\
\hline
f'(x) & & - & 0 & + & \\
\hline
 & -2\nep^{-3\strut}& & & & 2\nep\\
f(x) &  &  \searrow &  & \nearrow &  \\
 & & & -\frac{1}{\nep^{2}}\raisebox{-7pt}{\rule{0pt}{15pt}} & & \\
 \hline
\end{array}
\]
$f(-2) = (-2 +1)\nep^{-2} = -\dfrac{1}{\nep^2} $ ; $f(-2) \approx -0,14 $ à $10^{-2} $ près.


\item Il s'agit de résoudre $f(x) = m$, autrement dit, de discuter du nombre d'antécédents de $m$ par $f$. On peut s'aider ici d'un graphique.

\begin{center}
\includegraphics{129_4_fig_3}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Si $m <-\dfrac{1}{\nep^2}$, l'équation \mbox{$f(x) = m$} n'a aucune solution car $f$ admet pour minimum $-\dfrac{1}{\nep^2}$.

\item Si $m = -\dfrac{1}{\nep^2} $, l'équation $ f(x) = m$ admet une unique solution: $-2$.

\item Si $-\dfrac{1}{\nep^2} < m \leqslant -2\nep^{-3}$, l'équation $f(x) = m$ admet deux solutions, une dans $[-3\,;-2[$ et l'autre dans $]-2\,;1[$.

\item Si $2\nep^{-3} < m  \leqslant 2\nep$, l'équation $f(x) = m$ admet une unique solution dans l'intervalle $]-2\,;1[$, et elle n'en admet pas ailleurs car sur l'intervalle $[-3\,;-2]$, $f(x) < 2\nep^{-3}.$

\item Si $m > 2\nep$, l'équation n'admet aucune solution car $2\nep$ est le maximum absolu de la fonction sur $[-3\,;1]$.
\end{itemize}
\end{questions}
