\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. $g(x)=\dfrac{\nep^x-\nep^{2x}}{x}=\dfrac{\nep^x\left(1-\nep^x\right)}{x}$.

Tableau de signes :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|Zc>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}Zc>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}Zc|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $0$ &  & $+\infty$\\
\hline
$\nep^x$ &  & $+$ &  & $+$ & \\
\hline
$1-\nep^x$ &  & $+$ & $0$ & $-$ & \\
\hline
$x$ &  & $-$ & $0$ & $+$ & \\
\hline
$g(x)$ & & $-$ & $\|$ & $-$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On constate que $g(x)$ est toujours négative.

\item Réponse \choix[d].
\[
\dfrac{\nep^{2x}-1}{1+\nep^{-2x}}=\dfrac{\nep^{-x}\left(\nep^{3x}-\nep^x\right)}{\nep^{-x}\left(\nep^x+\nep^{-x}\right)}=\dfrac{\nep^{3x}-\nep^x}{\nep^x+\nep^{-x}}.
\]
Cette expression est égale à $f(x)$ si $\nep^x-\nep^{-x}=\nep^{3x}-\nep^x$.

Or, il existe au moins une valeur de $x$ pour laquelle cette égalité n'est pas vérifiée (par exemple pour $x=1$, on vérifie facilement que\linebreak $\nep-\nep^{-1}\neq\nep^3-\nep$). La proposition \choix[d] est donc fausse.

\item Réponse \choix[a]. $f'(x)=\nep^{-x}(1-x-2)=\nep^{-x}(-1-x)$.

On a alors $f(0)=2$ et $f'(0)=-1$. Donc la droite d'équation\linebreak $y=-x+2$ est l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0.

Si on ne pense pas au point d'abscisse 0, il est facile de montrer, une fois la dérivée calculée, que les 3 autres propositions sont fausses.

\item Réponse \choix[d]. Comme $\nep^x\neq0$, en multipliant les deux termes de\linebreak l'équation par $\nep^x$, on obtient une équation équivalente :
\[ \left(\nep^x\right)^2+1=m\nep^x.\]

Puis en posant $X=\nep^x$, on a une équation du second degré : \[ X^2-mX+1=0.\]
Le discriminant de cette équation vaut $m^2-4=(m-2)(m+2)$. Selon les valeurs de $m$, l'équation en $X$ a donc zéro, une ou deux solutions (cela élimine donc les réponses \choix[a] et \choix[b]). Pour avoir une solution en $x$, il faut de plus que l'équation en $X$ ait une solution positive.

Il est facile de voir que pour $m=2$, l'équation $X^2-2X+1=0$ admet \og 1 \fg{} comme racine, donc au moins dans ce cas, l'équation $\nep^{-x}+\nep^x=m$ admet une solution, ce qui élimine la réponse \choix[c].
\end{questions}
